2014年 数学一 真题

共23题

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#题型题目
1选择题下列曲线中有渐近线的是
A$\displaystyle y=x+\sin x$ ．
B$\displaystyle y=x^{2}+\sin x$ ．
C$\displaystyle y=x+\sin \frac{1}{x}$ ．
D$\displaystyle y=x^{2}+\sin \frac{1}{x}$ ．
2选择题设函数 $\displaystyle f(x)$ 具有 2 阶导数，$\displaystyle g(x)=f(0)(1-x)+f(1) x$ ，则在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上
A当 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 时，$\displaystyle f(x) \geqslant g(x)$ ．
B当 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 时，$\displaystyle f(x) \leqslant g(x)$ ．
C当 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 时，$\displaystyle f(x) \geqslant g(x)$ ．
D当 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 时，$\displaystyle f(x) \leqslant g(x)$ ．
3选择题设 $\displaystyle f(x, y)$ 是连续函数，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{1-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$
A$\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x-1} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{-1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
B$\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{-1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{0} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
C$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$ ．
D$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$.
4选择题若 $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(x-a_{1} \cos x-b_{1} \sin x\right)^{2} \mathrm{~d} x=\min _{a, b \in \mathbf{R}}\left\{\int_{-\pi}^{\pi}(x-a \cos x-b \sin x)^{2} \mathrm{~d} x\right\}$ ，则 $\displaystyle a_{1} \cos x+b_{1} \sin x=$
A$\displaystyle 2 \sin x$ ．
B$\displaystyle 2 \cos x$ ．
C$\displaystyle 2 \pi \sin x$ ．
D$\displaystyle 2 \pi \cos x$ ．
5选择题行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{llll}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=(\quad)$
A$\displaystyle (a d-b c)^{2}$ ．
B$\displaystyle -(a d-b c)^{2}$ ．
C$\displaystyle a^{2} d^{2}-b^{2} c^{2}$ ．
D$\displaystyle b^{2} c^{2}-a^{2} d^{2}$ ．
6选择题设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 均为3维向量，则对任意常数 $\displaystyle k, l$ ，向量组 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}+k \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{2}+l \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性无关是向量组 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}$ ， $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性无关的
A必要非充分条件．
B充分非必要条件．
C充分必要条件。
D既非充分也非必要条件。
7选择题设随机事件 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 相互独立，且 $P
A0．1．
B0． 2 ．
C0．3．
D0．4．
8选择题设连续型随机变量 $\displaystyle X_{1}$ 与 $\displaystyle X_{2}$ 相互独立且方差均存在，$\displaystyle X_{1}$ 与 $\displaystyle X_{2}$ 概率密度分别为 $\displaystyle f_{1}(x)$ 与 $\displaystyle f_{2}(x)$ ，随机变量 $\displaystyle Y_{1}$ 的概率密度为 $\displaystyle f_{Y_{1}}(y)=\frac{1}{2}\left[f_{1}(y)+f_{2}(y)\right]$ ，随机变量 $\displaystyle Y_{2}=\frac{1}{2}\left(X_{1}+X_{2}\right)$ ，则
A$\displaystyle E\left(Y_{1}\right)\gt E\left(Y_{2}\right), D\left(Y_{1}\right)\gt D\left(Y_{2}\right)$ ．
B$\displaystyle E\left(Y_{1}\right)=E\left(Y_{2}\right), D\left(Y_{1}\right)=D\left(Y_{2}\right)$ ．
C$\displaystyle E\left(Y_{1}\right)=E\left(Y_{2}\right), D\left(Y_{1}\right)\lt D\left(Y_{2}\right)$ ．
D$\displaystyle E\left(Y_{1}\right)=E\left(Y_{2}\right), D\left(Y_{1}\right)\gt D\left(Y_ \right.$\right)
9填空题曲面 $\displaystyle z=x^{2}(1-\sin y)+y^{2}(1-\sin x)$ 在点 $\displaystyle (1,0,1)$ 处的切平面方程为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
10填空题设 $\displaystyle f(x)$ 是周期为 4 的可导奇函数，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2(x-1), x \in[0,2]$ ，则 $\displaystyle f(7)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题微分方程 $\displaystyle x y^{\prime}+y(\ln x-\ln y)=0$ 满足条件 $\displaystyle y(1)=\mathrm{e}^{3}$ 的解为 $\displaystyle y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
12填空题设 $\displaystyle L$ 是柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 与平面 $\displaystyle y+z=0$ 的交线，从 $\displaystyle z$ 轴正向往 $\displaystyle z$ 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 $\displaystyle \oint_{L} z \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} z=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
13填空题设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+2 a x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 的负惯性指数为 1 ，则 $\displaystyle a$ 的取值范围是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题设总体 $\displaystyle X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2 x}{3 \theta^{2}}, & \theta\lt x\lt 2 \theta, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 其中 $\displaystyle \theta$ 是末知参数，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本，若 $\displaystyle c \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ 是 $\displaystyle \theta^{2}$ 的无偏估计，则 $\displaystyle c=$
15解答题求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{1}^{x}\left[t^{2}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{t}}-1\right)-t\right] \mathrm{d} t}{x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$ ．
16解答题设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 由方程 $\displaystyle y^{3}+x y^{2}+x^{2} y+6=0$ 确定，求 $\displaystyle f(x)$ 的极值．
17解答题设函数 $\displaystyle f(u)$ 具有二阶连续导数，$\displaystyle z=f\left(\mathrm{e}^{x} \cos y\right)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\left(4 z+\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{e}^{2 x}$ ．若 $\displaystyle f(0)=0$ ， $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$ ，求 $\displaystyle f(u)$ 的表达式．
18解答题根据题目开头信息，这应该是2014年考研数学数学一第18题，原题为一道完整的解答题，通常只有一问。补全后的完整题目如下： 设 $\displaystyle \Sigma$ 为曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}(z \leqslant 1)$ 的上侧，计算曲面积分 $$ I=\iint_{\Sigma}(x-1)^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(y-1)^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y.$$
19解答题设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle 0\lt a_{n}\lt\frac{\pi}{2}, 0\lt b_{n}\lt\frac{\pi}{2}, \cos a_{n}-a_{n}=\cos b_{n}$ ，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛。（ I ）证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ；（II）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ 收敛。
20解答题设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrrr}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3\end{array}\right), \mathbf{E}$ 为 3 阶单位矩阵。（ I ）求方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系；（II）求满足 $\displaystyle \mathbf{A B}=\mathbf{E}$ 的所有矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 。
21解答题证明 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$ 与 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & n\end{array}\right)$ 相似。
22解答题设随机变量 $\displaystyle X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=1\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}$ 。在给定 $\displaystyle X=i$ 的条件下，随机变量 $\displaystyle Y$ 服从均匀分布 $\displaystyle U(0, i)(i=1,2)$ 。（I）求 $\displaystyle Y$ 的分布函数 $\displaystyle F_{Y}(y)$ ；（II）求 $\displaystyle E(Y)$ 。
23解答题设总体 $\displaystyle X$ 的分布函数为 $\displaystyle F(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}1-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{\theta}}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x\lt 0,\end{array}\right.$ 其中 $\displaystyle \theta$ 是未知参数且大于零．$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$为来自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本。（I）求 $\displaystyle E(X)$ 与 $\displaystyle E\left(X^{2}\right)$ ；（II）求 $\displaystyle \theta$ 的最大似然估计量 $\displaystyle \widehat{\theta_{n}}$ ；（III）是否存在实数 $\displaystyle a$ ，使得对任何 $\displaystyle \varepsilon\gt 0$ ，都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|\hat{\theta_{n}}-a\right| \geqslant \varepsilon\right\}=0$ ？