2014年 数学三 真题

共23题

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#题型题目
1选择题$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，且 $\displaystyle a \neq 0$ ，则当 $\displaystyle n$ 充分大时有
A$\displaystyle \left|a_{n}\right|\gt\frac{|a|}{2}$.
B$\displaystyle \left|a_{n}\right|\lt\frac{|a|}{2}$.
C$\displaystyle a_{n}\gt a-\frac{1}{n}$.
D$\displaystyle a_{n}\lt a+\frac{1}{n}$ ．
2选择题下列曲线中有渐近线的是
A$\displaystyle y=x+\sin x$ ．
B$\displaystyle y=x^{2}+\sin x$ ．
C$\displaystyle y=x+\sin \frac{1}{x}$ ．
D$\displaystyle y=x^{2}+\sin \frac{1}{x}$ ．
3选择题设 $\displaystyle p(x)=a+b x+c x^{2}+d x^{3}$ 。当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时，若 $\displaystyle p(x)-\tan x$ 是比 $\displaystyle x^{3}$ 高阶的无穷小量，则下列选项中错误的是
A$\displaystyle a=0$ ．
B$\displaystyle b=1$ ．
C$\displaystyle c=0$ ．
D$\displaystyle d=\frac{1}{6}$ ．
4选择题设函数 $\displaystyle f(x)$ 具有 2 阶导数，$\displaystyle g(x)=f(0)(1-x)+f(1) x$ ，则在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上
A当 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 时，$\displaystyle f(x) \geqslant g(x)$ ．
B当 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 时，$\displaystyle f(x) \leqslant g(x)$ ．
C当 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 时，$\displaystyle f(x) \geqslant g(x)$ ．
D当 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 时，$\displaystyle f(x) \leqslant g(x)$ ．
5选择题行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{llll}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=$
A$\displaystyle (a d-b c)^{2}$ ．
B$\displaystyle -(a d-b c)^{2}$ ．
C$\displaystyle a^{2} d^{2}-b^{2} c^{2}$ ．
D$\displaystyle b^{2} c^{2}-a^{2} d^{2}$ ．
6选择题设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 均为3维向量，则对任意常数 $\displaystyle k, l$ ，向量组 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}+k \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{2}+l \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性无关是向量组 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性无关的
A必要非充分条件。
B充分非必要条件。
C充分必要条件。
D既非充分也非必要条件。
7选择题设随机事件 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 相互独立，且 $P
A0．1．
B0．2．
C0．3．
D0．4．
8选择题设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 为来自正态总体 $\displaystyle N\left(0, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，则统计量 $\displaystyle S=\frac{X_{1}-X_{2}}{\sqrt{2}\left|X_{3}\right|}$ 服从的分布为
A$\displaystyle F(1,1)$ ．
B$\displaystyle F(2,1)$ ．$\displaystyle (\mathrm{C}) t(1)$.
C$\displaystyle t(2)$
9填空题设某商品的需求函数为 $\displaystyle Q=40-2 P$（ $\displaystyle P$ 为商品的价格），则该商品的边际收益为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
10填空题设 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle x y+1=0$ 与直线 $\displaystyle y+x=0$ 及 $\displaystyle y=2$ 围成的有界区域，则 $\displaystyle D$ 的面积为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题设 $\displaystyle \int_{0}^{a} x \mathrm{e}^{2 x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{4}$ ，则 $\displaystyle a=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题二次积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1}\left(\frac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{x}-\mathrm{e}^{y^{2}}\right) \mathrm{d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+2 a x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 的负惯性指数为 1 ，则 $\displaystyle a$ 的取值范围是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题设总体 $\displaystyle X$ 的概率密度为$$ f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{2 x}{3 \theta^{2}}, & \theta\lt x\lt 2 \theta, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$$ 其中 $\displaystyle \theta$ 是未知参数，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本．若 $\displaystyle E\left(c \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}\right)=\theta^{2}$ ，则 $\displaystyle c=$
15解答题求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{1}^{x}\left[t^{2}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{t}}-1\right)-t\right] \mathrm{d} t}{x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$ ．
16解答题设平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ，计算 $\displaystyle \iint_{D} \frac{x \sin \left(\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
17解答题设函数 $\displaystyle f(u)$ 具有连续导数，且 $\displaystyle z=f\left(\mathrm{e}^{x} \cos y\right)$ 满足 $$ \cos y \frac{\partial z}{\partial x}-\sin y \frac{\partial z}{\partial y}=\left(4 z+\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{e}^{x}$$ 若 $\displaystyle f(0)=0$ ，求 $\displaystyle f(u)$ 的表达式。
18解答题求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+3) x^{n}$ 的收敛域及和函数．
19解答题设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)$ 单调增加， $\displaystyle 0 \leqslant g(x) \leqslant 1$ 。证明：（ I ） $\displaystyle 0 \leqslant \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t \leqslant x-a, x \in[a, b]$ ；（II） $\displaystyle \int_{a}^{a+} \int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$.
20解答题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3\end{array}\right), \mathbf{E}$ 为3阶单位矩阵。（I）求方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系；（II）求满足 $\displaystyle \mathbf{A B}=\mathbf{E}$ 的所有矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 。
21解答题证明 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$ 与 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & n\end{array}\right)$ 相似。
22解答题设随机变量 $\displaystyle X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=1\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}$ 。在给定 $\displaystyle X=i$ 的条件下，随机变量 $\displaystyle Y$ 服从均匀分布 $\displaystyle U(0, i)(i=1,2)$ 。（I）求 $\displaystyle Y$ 的分布函数 $\displaystyle F_{Y}(y)$ ；（II）求 $\displaystyle E(Y)$ 。
23解答题设随机变量 $\displaystyle X, Y$ 的概率分布相同，$\displaystyle X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=0\}=\frac{1}{3}, P\{X=1\}=\frac{2}{3}$ ，且 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 的相关系数 $\displaystyle \rho_{X Y}=\frac{1}{2}$ ．（I）求 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率分布；（II）求 $\displaystyle P\{X+Y \leqslant 1\}$ 。