2014年 数学二 真题

共23题

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#题型题目
1选择题当 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时，若 $\displaystyle \ln ^{\alpha}(1+2 x),(1-\cos x)^{\frac{1}{\alpha}}$ 均是比 $\displaystyle x$ 高阶的无穷小量，则 $\displaystyle \alpha$ 的取值范围是
A$\displaystyle (2,+\infty)$ ．
B$\displaystyle (1,2)$ ．
C$\displaystyle \left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 。
D$\displaystyle \left(0, \frac{1}{2}\right)$ ．
2选择题下列曲线中有渐近线的是
A$\displaystyle y=x+\sin x$ ．
B$\displaystyle y=x^{2}+\sin x$ ．
C$\displaystyle y=x+\sin \frac{1}{x}$ ．
D$\displaystyle y=x^{2}+\sin \frac{1}{x}$ ．
3选择题设函数 $\displaystyle f(x)$ 具有 2 阶导数，$\displaystyle g(x)=f(0)(1-x)+f(1) x$ ，则在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上，
A当 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 时，$\displaystyle f(x) \geqslant g(x)$ ．
B当 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 时，$\displaystyle f(x) \leqslant g(x)$ ．
C当 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 时，$\displaystyle f(x) \geqslant g(x)$ ．
D当 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 时，$\displaystyle f(x) \leqslant g(x)$ ．
4选择题曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=t^{2}+7 \\ y=t^{2}+4 t+1\end{array}\right.$ 上对应于 $\displaystyle t=1$ 的点处的曲率半径是
A$\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{50}$ ．
B$\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{100}$ ．
C$\displaystyle 10 \sqrt{10}$ ．
D$\displaystyle 5 \sqrt{10}$ ．
5选择题设函数 $\displaystyle f(x)=\arctan x$ ．若 $\displaystyle f(x)=x f^{\prime}(\xi)$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\xi^{2}}{x^{2}}=$
A1．
B$\displaystyle \frac{2}{3}$ ．
C$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
D$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．
6选择题设函数 $\displaystyle u(x, y)$ 在有界闭区域 $\displaystyle D$ 上连续，在 $\displaystyle D$ 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} \neq 0$ 及 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ ，则
A$\displaystyle u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $\displaystyle D$ 的边界上取得．
B$\displaystyle u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $\displaystyle D$ 的内部取得。
C$\displaystyle u(x, y)$ 的最大值在 $\displaystyle D$ 的内部取得，最小值在 $\displaystyle D$ 的边界上取得。
D$\displaystyle u(x, y)$ 的最小值在 $\displaystyle D$ 的内部取得，最大值在 $\displaystyle D$ 的边界上取得。
7选择题行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{llll}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=$
A$\displaystyle (a d-b c)^{2}$ ．
B$\displaystyle -(a d-b c)^{2}$ ．
C$\displaystyle a^{2} d^{2}-b^{2} c^{2}$ ．
D$\displaystyle b^{2} c^{2}-a^{2} d^{2}$ ．
8选择题设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 均为3维向量，则对任意常数 $\displaystyle k, l$ ，向量组 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}+k \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{2}+l \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性无关是向量组 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}$ ， $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性无关的
A必要非充分条件。
B充分非必要条件．
C充分必要条件。
D既非充分也非必要条件．
9填空题$\displaystyle \int_{-\infty}^{1} \frac{1}{x^{2}+2 x+5} \mathrm{~d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
10填空题设 $\displaystyle f(x)$ 是周期为 4 的可导奇函数，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2(x-1), x \in[0,2]$ ，则 $\displaystyle f(7)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{2 y z}+x+y^{2}+z=\frac{7}{4}$ 确定的函数，则 $\displaystyle \left.\mathrm{d} z\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题曲线 $\displaystyle L$ 的极坐标方程是 $\displaystyle r=\theta$ ，则 $\displaystyle L$ 在点 $\displaystyle (r, \theta)=\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 处的切线的直角坐标方程是 $\displaystyle \_\_\_\_$。
13填空题一根长度为 1 的细棒位于 $\displaystyle x$ 轴的区间 $\displaystyle [0,1]$ 上，若其线密度 $\displaystyle \rho(x)=-x^{2}+2 x+1$ ，则该细棒的质心坐标 $\displaystyle \bar{x}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+2 a x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 的负惯性指数为 1 ，则 $\displaystyle a$ 的取值范围是
15解答题求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{1}^{x}\left[t^{2}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{t}}-1\right)-t\right] \mathrm{d} t}{x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$ ．
16解答题已知函数 $\displaystyle y=y(x)$ 满足微分方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2} y^{\prime}=1-y^{\prime}$ ，且 $\displaystyle y(2)=0$ ，求 $\displaystyle y(x)$ 的极大值与极小值。
17解答题设平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ 。计算 $\displaystyle \iint_{D} \frac{x \sin \left(\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
18解答题设函数 $\displaystyle f(u)$ 具有 2 阶连续导数，$\displaystyle z=f\left(\mathrm{e}^{x} \cos y\right)$ 满足 $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\left(4 z+\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{e}^{2 x}$$ 若 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ ，求 $\displaystyle f(u)$ 的表达式。
19解答题设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)$ 单调增加， $\displaystyle 0 \leqslant g(x) \leqslant 1$ 。证明：（ I ） $\displaystyle 0 \leqslant \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t \leqslant x-a, x \in[a, b]$ ；（ II ） $\displaystyle \int_{a}^{a+\int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$.
20解答题设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x}, x \in[0,1]$ ．定义函数列： $$ f_{1}(x)=f(x), \quad f_{2}(x)=f\left(f_{1}(x)\right), \quad \cdots, \quad f_{n}(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right), \quad \cdots$$ 记 $\displaystyle S_{n}$ 是由曲线 $\displaystyle y=f_{n}(x)$ ，直线 $\displaystyle x=1$ 及 $\displaystyle x$ 轴所围平面图形的面积．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n S_{n}$ ．
21解答题已知函数 $\displaystyle f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2(y+1)$ ，且 $\displaystyle f(y, y)=(y+1)^{2}-(2-y) \ln y$ ，求曲线 $\displaystyle f(x, y)=0$ 所围图形绕直线 $\displaystyle y=-1$ 旋转所成旋转体的体积．
22解答题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3\end{array}\right), \mathbf{E}$ 为3阶单位矩阵。（I）求方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系；（II）求满足 $\displaystyle \mathbf{A B}=\mathbf{E}$ 的所有矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 。
23解答题证明 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$ 与 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & n\end{array}\right)$ 相似．