2015年 数学一 真题

共23题

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#题型题目
1选择题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，其 2 阶导函数 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如右图所示，则曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点个数为
A0 ．
B1 ．
C2．
D3．
2选择题设 $\displaystyle y=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}+\left(x-\frac{1}{3}\right) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶常系数非齐次线性微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c \mathrm{e}^{x}$ 的一个特解，则（ ）
A$\displaystyle a=-3, b=2, c=-1$ ．
B$\displaystyle a=3, b=2, c=-1$ ．
C$\displaystyle a=-3, b=2, c=1$ ．
D$\displaystyle a=3, b=2, c=1$ ．
3选择题若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛，则 $\displaystyle x=\sqrt{3}$ 与 $\displaystyle x=3$ 依次为幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}(x-1)^{n}$ 的
A收敛点，收敛点。
B收敛点，发散点．
C发散点，收敛点。
D发散点，发散点．
4选择题设 $\displaystyle D$ 是第一象限中的曲线 $\displaystyle 2 x y=1,4 x y=1$ 与直线 $\displaystyle y=x, y=\sqrt{3} x$ 围成的平面区域，函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上连续，则 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
A$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{2 \sin 2 \theta}}^{\frac{1}{\sin 2 \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ ．
B$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ ．
C$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{2 \sin 2 \theta}}^{\frac{1}{\sin 2 \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$ ．
D$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$ ．
5选择题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^{2}\end{array}\right), \mathbf{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\ d \\ d^{2}\end{array}\right)$ ．若集合 $\displaystyle \Omega=\{1,2\}$ ，则线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有无穷多解的充分必要条件为
A$\displaystyle a \notin \Omega, d \notin \Omega$ 。
B$\displaystyle a \notin \Omega, d \in \Omega$ ．
C$\displaystyle a \in \Omega, d \notin \Omega$ ．
D$\displaystyle a \in \Omega, d \in \Omega$ 。
6选择题设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在正交变换 $\displaystyle \mathbf{x}=\mathbf{P} \mathbf{y}$ 下的标准形为 $\displaystyle 2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{P}=\left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right)$ 。若 $\displaystyle \mathbf{Q}=\left(\mathbf{e}_{1},-\mathbf{e}_{3}, \mathbf{e}_{2}\right)$ ，则 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在正交变换 $\displaystyle \mathbf{x}=\mathbf{Q} \mathbf{y}$ 下的标准形为
A$\displaystyle 2 y_{1}^{2}-y_{2}^{2}+y_{3}^{2}$ ．
B$\displaystyle 2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ．
C$\displaystyle 2 y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ．
D$\displaystyle 2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}$ ．
7选择题若 $\displaystyle A, B$ 为任意两个随机事件，则
A$\displaystyle P(A B) \leqslant P(A) P(B)$ ．
B$\displaystyle P(A B) \geqslant P(A) P(B)$ ．
C$\displaystyle P(A B) \leqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}$ ．
D$\displaystyle P(A B) \geqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}$ ．
8选择题设随机变量 $\displaystyle X, Y$ 不相关，且 $\displaystyle E(X)=2, E(Y)=1, D(X)=3$ ，则 $\displaystyle E[X(X+Y-2)]=()$
A-3 ．
B3 ．
C-5 ．
D5 ．
9填空题$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (\cos x)}{x^{2}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
10填空题$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}+|x|\right) \mathrm{d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ .
11填空题若函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{z}+x y z+x+\cos x=2$ 确定，则 $\displaystyle \left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题设 $\displaystyle \Omega$ 是由平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+2 y+3 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ＝ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题$\displaystyle n$ 阶行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{ccccc}2 & 0 & \cdots & 0 & 2 \\ -1 & 2 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 2 & 2 \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & 2\end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 服从正态分布 $\displaystyle N(1,0 ; 1,1 ; 0)$ ，则 $\displaystyle P\{X Y-Y\lt 0\}=$
15解答题设函数 $\displaystyle f(x)=x+a \ln (1+x)+b x \sin x, g(x)=k x^{3}$ 。若 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle x \longrightarrow 0$ 时是等价无穷小，求 $\displaystyle a, b, k$ 值。
16解答题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在定义域 $\displaystyle I$ 上的导数大于零。若对任意的 $\displaystyle x_{0} \in I$ ，曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 处的切线与直线 $\displaystyle x=x_{0}$ 及 $\displaystyle x$ 轴所围成区域的面积恒为 4 ，且 $\displaystyle f(0)=2$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式。
17解答题已知函数 $\displaystyle f(x, y)=x+y+x y$ ，曲线 $\displaystyle C: x^{2}+y^{2}+x y=3$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ 在曲线 $\displaystyle C$ 上的最大方向导数．
18解答题（I）设函数 $\displaystyle u(x), v(x)$ 可导，利用导数定义证明 $\displaystyle [u(x) v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)$ ；（II）设函数 $\displaystyle u_{1}(x), u_{2}(x), \cdots, u_{n}(x)$ 可导，$\displaystyle f(x)=u_{1}(x) u_{2}(x) \cdots u_{n}(x)$ ，写出 $\displaystyle f(x)$ 的求导公式。
19解答题（本题满分 10 分） 已知曲线 $\displaystyle L$ 的方程为 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{2-x^2-y^2} \\ z=x,\end{array}\right.$ 起点为 $\displaystyle A(0, \sqrt{2}, 0)$ ，终点为 $\displaystyle B(0,-\sqrt{2}, 0)$ ，计算曲线积分 $\displaystyle I=\int_L(y+z) \mathrm{d} x+\left(z^2-x^2+y\right) \mathrm{d} y+x^2 y^2 \mathrm{~d} z$ ．
20解答题设向量组 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 的一个基， $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}=2 \mathbf{\alpha}_{1}+2 k \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\beta}_{2}=2 \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\beta}_{3}=\mathbf{\alpha}_{1}+(k+1) \mathbf{\alpha}_{3}$.（ I ）证明向量组 $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}, \mathbf{\beta}_{3}$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 的一个基；（II）当 $\displaystyle k$ 为何值时，存在非零向量 $\displaystyle \mathbf{\xi}$ 在基 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 与基 $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}, \mathbf{\beta}_{3}$ 下的坐标相同，并求所有的 $\displaystyle \mathbf{\xi}$ ．
21解答题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & a\end{array}\right)$ 相似于矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 3 & 1\end{array}\right)$ ．（I）求 $\displaystyle a, b$ 的值；（II）求可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角矩阵。
22解答题设随机变量 $\displaystyle X$ 的概率密度为$$ f(x)= \begin{cases}2^{-x} \ln 2, & x\gt 0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}$$ 对 $\displaystyle X$ 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 $\displaystyle Y$ 为观测次数。（I）求 $\displaystyle Y$ 的概率分布；（II）求 $\displaystyle E(Y)$ 。
23解答题设总体 $\displaystyle X$ 的概率密度为$$ f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{1}{1-\theta}, & \theta \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$$ 其中 $\displaystyle \theta$ 为未知参数．$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自该总体的简单随机样本．（I）求 $\displaystyle \theta$ 的矩估计量；（II）求 $\displaystyle \theta$ 的最大似然估计量．