| 1 | 选择题 | 设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 是数列。下列命题中不正确的是（）A若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n+1}=a$ ． B若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n+1}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ． C若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n+1}=a$ ． D若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n+1}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ． |
| 2 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，其 2 阶导函数 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如右图所示，则曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点个数为 |
| 3 | 选择题 | 设 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x, x^{2}+y^{2} \leqslant 2 y\right\}$ ，函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上连续， 则 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$A$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$. B$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$. C$\displaystyle 2 \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-\sqrt{1-x^{2}}}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． D$\displaystyle 2 \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． |
| 4 | 选择题 | 下列级数中发散的是A$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}}$ ． B$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ ． C$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}+1}{\ln n}$ ． D$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}$ ． |
| 5 | 选择题 | 设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^{2}\end{array}\right), \mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}1 \\ d \\ d^{2}\end{array}\right)$ ．若集合 $\displaystyle \mathbf{\Omega}=\{1,2\}$ ，则线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有无穷多解的充分必要条件为A$\displaystyle a \notin \Omega, d \notin \Omega$ ． B$\displaystyle a \notin \Omega, d \in \Omega$ ． C$\displaystyle a \in \Omega, d \notin \Omega$ ． D$\displaystyle a \in \Omega, d \in \Omega$ 。 |
| 6 | 选择题 | 设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在正交变换 $\displaystyle \mathbf{x}=\mathbf{P} \mathbf{y}$ 下的标准形为 $\displaystyle 2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{P}=\left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right)$ 。若 $\displaystyle \mathbf{Q}=\left(\mathbf{e}_{1},-\mathbf{e}_{3}, \mathbf{e}_{2}\right)$ ，则 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在正交变换 $\displaystyle \mathbf{x}=\mathbf{Q} \mathbf{y}$ 下的标准形为A$\displaystyle 2 y_{1}^{2}-y_{2}^{2}+y_{3}^{2}$ ． B$\displaystyle 2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ． C$\displaystyle 2 y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ． D$\displaystyle 2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}$ ． |
| 7 | 选择题 | 若 $\displaystyle A, B$ 为任意两个随机事件，则（ ）A$\displaystyle P(A B) \leqslant P(A) P(B)$ ． B$\displaystyle P(A B) \geqslant P(A) P(B)$ ． C$\displaystyle P(A B) \leqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}$ ． D$\displaystyle P(A B) \geqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}$ ． |
| 8 | 选择题 | 设总体 $\displaystyle X \sim B(m, \theta), X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自该总体的简单随机样本， $\displaystyle \bar{X}$ 为样本均值，则 $\displaystyle E\left[\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right]=(\quad)$A$\displaystyle (m-1) n \theta(1-\theta)$ ． B$\displaystyle m(n-1) \theta(1-\theta)$ ． C$\displaystyle (m-1)(n-1) \theta(1-\theta)$ ． D$\displaystyle m n \theta(1-\theta)$ |
| 9 | 填空题 | $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (\cos x)}{x^{2}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 10 | 填空题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle \varphi(x)=\int_{0}^{x^{2}} x f(t) \mathrm{d} t$ ．若 $\displaystyle \varphi(1)=1, \varphi^{\prime}(1)=5$ ，则 $\displaystyle f(1)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 11 | 填空题 | 若函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 确定，则 $\displaystyle \left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 12 | 填空题 | 设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 是微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ 的解，且在 $\displaystyle x=0$ 处 $\displaystyle y(x)$ 取得极值 3 ，则 $\displaystyle y(x) =$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 13 | 填空题 | 设 3 阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征值为 $\displaystyle 2,-2,1, \mathbf{B}=\mathbf{A}^{2}-\mathbf{A}+\mathbf{E}$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{E}$ 为 3 阶单位矩阵，则行列式 $\displaystyle |\mathbf{B}|=$$\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 14 | 填空题 | 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 服从正态分布 $\displaystyle N(1,0 ; 1,1 ; 0)$ ，则 $\displaystyle P\{X Y-Y\lt 0\}=$ |
| 15 | 解答题 | 设函数 $\displaystyle f(x)=x+a \ln (1+x)+b x \sin x, g(x)=k x^{3}$ 。若 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时是等价无穷小，求 $\displaystyle a, b, k$ 的值． |
| 16 | 解答题 | 计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} x(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2, y \geqslant x^{2}\right\}$ ． |
| 17 | 解答题 | 为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型。设 $\displaystyle Q$ 为该商品的需求量，$\displaystyle p$ 为价格，$\displaystyle M C$ 为边际成本，$\displaystyle \eta$ 为需求弹性 $\displaystyle (\eta\gt 0)$ 。（I）证明定价模型为 $\displaystyle p=\frac{M C}{1-\frac{1}{\eta}}$ ；（II）若该商品的成本函数为 $\displaystyle C(Q)=1600+Q^{2}$ ，需求函数为 $\displaystyle Q=40-p$ ，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格。 |
| 18 | 解答题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在定义域 $\displaystyle I$ 上的导数大于零。若对任意的 $\displaystyle x_{0} \in I$ ，曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 处的切线与直线 $\displaystyle x=x_{0}$ 及 $\displaystyle x$ 轴所围成区域的面积恒为 4 ，且 $\displaystyle f(0)=2$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式。 |
| 19 | 解答题 | （I）设函数 $\displaystyle u(x), v(x)$ 可导，利用导数定义证明 $\displaystyle [u(x) v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)$ ；（II）设函数 $\displaystyle u_{1}(x), u_{2}(x), \cdots, u_{n}(x)$ 可导，$\displaystyle f(x)=u_{1}(x) u_{2}(x) \cdots u_{n}(x)$ ，写出 $\displaystyle f(x)$ 的求导公式。 |
| 20 | 解答题 | 设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 0 \\ 1 & a & -1 \\ 0 & 1 & a\end{array}\right)$ ，且 $\displaystyle \mathbf{A}^{3}=\mathbf{O}$ ．（I）求 $\displaystyle a$ 的值；（II）若矩阵 $\displaystyle \mathbf{X}$ 满足 $\displaystyle \mathbf{X}-\mathbf{X} \mathbf{A}^{2}-\mathbf{A} \mathbf{X}+\mathbf{A} \mathbf{X} \mathbf{A}^{2}=\mathbf{E}$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{E}$ 为 3 阶单位矩阵，求 $\displaystyle \mathbf{X}$ ． |
| 21 | 解答题 | 设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & a\end{array}\right)$ 相似于矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 3 & 1\end{array}\right)$ ．（I）求 $\displaystyle a, b$ 的值；（II）求可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角矩阵。 |
| 22 | 解答题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 的概率密度为$$
f(x)= \begin{cases}2^{-x} \ln 2, & x\gt 0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}$$
对 $\displaystyle X$ 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 $\displaystyle Y$ 为观测次数。（I）求 $\displaystyle Y$ 的概率分布；（II）求 $\displaystyle E(Y)$ 。 |
| 23 | 解答题 | 设总体 $\displaystyle X$ 的概率密度为$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{1}{1-\theta}, & \theta \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$$
其中 $\displaystyle \theta$ 为未知参数．$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自该总体的简单随机样本．（I）求 $\displaystyle \theta$ 的矩估计量；（II）求 $\displaystyle \theta$ 的最大似然估计量． |