2015年 数学二 真题

共23题

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#题型题目
1选择题下列反常积分中收敛的是
A$\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
B$\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
C$\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ ．
D$\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
2选择题函数 $\displaystyle f(x)=\lim _{t \rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin t}{x}\right)^{\frac{x^{2}}{t}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内
A连续．
B有可去间断点。
C有跳跃间断点。
D有无穷间断点．
3选择题设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{\alpha} \cos \frac{1}{x^{\beta}}, & x\gt 0, \\ 0, & x \leqslant 0\end{array}(\alpha\gt 0, \beta\gt 0)\right.$ ．若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则
A$\displaystyle \alpha-\beta\gt 1$ ．
B$\displaystyle 0\lt\alpha-\beta \leqslant 1$ ．
C$\displaystyle \alpha-\beta\gt 2$ ．
D$\displaystyle 0\lt\alpha-\beta \leqslant 2$ ．
4选择题设函数在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，其 2 阶导函数 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如右图所示，则曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点个数为
A0．
B1 ．
C2．
D3．
5选择题设函数 $\displaystyle f(u, v)$ 满足 $\displaystyle f\left(x+y, \frac{y}{x}\right)=x^{2}-y^{2}$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{\substack{u=1 \\ v=1}},\left.\frac{\partial f}{\partial v}\right|_{\substack{u=1 \\ v=1}}$ 依次是
A$\displaystyle \frac{1}{2}, 0$ ．
B$\displaystyle 0, \frac{1}{2}$ ．
C$\displaystyle -\frac{1}{2}, 0$ ．
D$\displaystyle 0,-\frac{1}{2}$ ．
6选择题设 $\displaystyle D$ 是第一象限中由曲线 $\displaystyle 2 x y=1,4 x y=1$ 与直线 $\displaystyle y=x, y=\sqrt{3} x$ 围成的平面区域，函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上连续，则 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
A$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sin 2 \theta}}^{\frac{1}{\sin 2 \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$.
B$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ ．
C$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{2 \sin 2 \theta}}^{\frac{1}{\sin 2 \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$ ．
D$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$ ．
7选择题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^{2}\end{array}\right), \mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}1 \\ d \\ d^{2}\end{array}\right)$ ．若集合 $\displaystyle \Omega=\{1,2\}$ ，则线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有无穷多解的充分必要条件为
A$\displaystyle a \notin \Omega, d \notin \Omega$ ．
B$\displaystyle a \notin \Omega, d \in \Omega$ ．
C$\displaystyle a \in \Omega, d \notin \Omega$ ．
D$\displaystyle a \in \Omega, d \in \Omega$ 。
8选择题设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在正交变换 $\displaystyle \mathbf{x}=\mathbf{P} \mathbf{y}$ 下的标准形为 $\displaystyle 2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{P}=\left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right)$ 。若 $\displaystyle \mathbf{Q}=\left(\mathbf{e}_{1},-\mathbf{e}_{3}, \mathbf{e}_{2}\right)$ ，则 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在正交变换 $\displaystyle \mathbf{x}=\mathbf{Q} \mathbf{y}$ 下的标准形为
A$\displaystyle 2 y_{1}^{2}-y_{2}^{2}+y_{3}^{2}$ ．
B$\displaystyle 2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ．
C$\displaystyle 2 y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ．
D$\displaystyle 2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$
9填空题设 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ y=3 t+t^{3},\end{array}\right.$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
10填空题函数 $\displaystyle f(x)=x^{2} 2^{x}$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的 $\displaystyle n$ 阶导数 $\displaystyle f^{(n)}(0)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle \varphi(x)=\int_{0}^{x^{2}} x f(t) \mathrm{d} t$ ．若 $\displaystyle \varphi(1)=1, \varphi^{\prime}(1)=5$ ，则 $\displaystyle f(1)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
12填空题设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 是微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ 的解，且在 $\displaystyle x=0$ 处 $\displaystyle y(x)$ 取得极值 3 ，则 $\displaystyle y(x) =$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题若函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 确定，则 $\displaystyle \left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题设3阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征值为 $\displaystyle 2,-2,1, \mathbf{B}=\mathbf{A}^{2}-\mathbf{A}+\mathbf{E}$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{E}$ 为3阶单位矩阵，则行列式 $\displaystyle |\mathbf{B}|=$
15解答题设函数 $\displaystyle f(x)=x+a \ln (1+x)+b x \sin x, g(x)=k x^{3}$ 。若 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时是等价无穷小，求 $\displaystyle a, b, k$ 的值。
16解答题设 $\displaystyle A\gt 0, D$ 是由曲线段 $\displaystyle y=A \sin x\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 及直线 $\displaystyle y=0, x=\frac{\pi}{2}$ 所围成的平面区域， $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 分别表示 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴与绕 $\displaystyle y$ 轴旋转所成旋转体的体积．若 $\displaystyle V_{1}=V_{2}$ ，求 $\displaystyle A$ 的值．
17解答题已知函数 $\displaystyle f(x, y)$ 满足 $\displaystyle f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=2(y+1) \mathrm{e}^{x}, f_{x}^{\prime}(x, 0)=(x+1) \mathrm{e}^{x}, f(0, y)=y^{2}+2 y$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ 的极值．
18解答题计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} x(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2, y \geqslant x^{2}\right\}$ ．
19解答题已知函数 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{1} \sqrt{1+t^{2}} \mathrm{~d} t+\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{1+t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 零点的个数．
20解答题已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比。现将一初始温度为 $\displaystyle 120^{\circ} \mathrm{C}$ 的物体在 $\displaystyle 20^{\circ} \mathrm{C}$ 的恒温介质中冷却， 30 min 后该物体温度降至 $\displaystyle 30^{\circ} \mathrm{C}$ ，若要将该物体的温度继续降至 $\displaystyle 21^{\circ} \mathrm{C}$ ，还需冷却多长时间？
21解答题已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上具有 2 阶导数，$\displaystyle f(a)=0, f^{\prime}(x)\gt 0, f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ 。设 $\displaystyle b\gt a$ ，曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 在点 $\displaystyle (b, f(b))$ 处的切线与 $\displaystyle x$ 轴的交点是 $\displaystyle \left(x_{0}, 0\right)$ ，证明 $\displaystyle a\lt x_{0}\lt b$ 。
22解答题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 0 \\ 1 & a & -1 \\ 0 & 1 & a\end{array}\right)$ ，且 $\displaystyle \mathbf{A}^{3}=\mathbf{O}$ ．（ I ）求 $\displaystyle a$ 的值；（II）若矩阵 $\displaystyle \mathbf{X}$ 满足 $\displaystyle \mathbf{X}-\mathbf{X} \mathbf{A}^{2}-\mathbf{A} \mathbf{X}+\mathbf{A} \mathbf{X} \mathbf{A}^{2}=\mathbf{E}$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{E}$ 为 3 阶单位矩阵，求 $\displaystyle \mathbf{X}$ 。
23解答题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & a\end{array}\right)$ 相似于矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 3 & 1\end{array}\right)$ ．（I）求 $\displaystyle a, b$ 的值；（II）求可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角矩阵。