2016年 数学一 真题

共23题

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#题型题目
1选择题若反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{a}(1+x)^{b}} \mathrm{~d} x$ 收敛，则
A$\displaystyle a\lt 1$ 且 $\displaystyle b\gt 1$ ．
B$\displaystyle a\gt 1$ 且 $\displaystyle b\gt 1$ ．
C$\displaystyle a\lt 1$ 且 $\displaystyle a+b\gt 1$ ．
D$\displaystyle a\gt 1$ 且 $\displaystyle a+b\gt 1$ ．
2选择题已知函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2(x-1), & x\lt 1 \\ \ln x, & x \geqslant 1,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle f(x)$ 的一个原函数是
A$\displaystyle F(x)= $\begin{cases}(x-1)^{2}, & x\lt 1, \\ x(\ln x-1), & x \geqslant 1 .\end{cases}$\displaystyle
B$F(x)= $\displaystyle \begin{cases}(x-1)^{2}, & x\lt 1, \\ x(\ln x+1)-1, & x \geqslant 1 .\end{cases}$
C$\displaystyle F(x)= $\begin{cases}(x-1)^{2}, & x\lt 1, \\ x(\ln x+1)+1, & x \geqslant 1 .\end{cases}$\displaystyle
D$F(x)= $\displaystyle \begin{cases}(x-1)^{2}, & x\lt 1, \\ x(\ln x-1)+1, & x \geqslant 1 .\end{cases}$
3选择题若 $\displaystyle y=\left(1+x^{2}\right)^{2}-\sqrt{1+x^{2}}, y=\left(1+x^{2}\right)^{2}+\sqrt{1+x^{2}}$ 是微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个解，则 $\displaystyle q(x)=$
A$\displaystyle 3 x\left(1+x^{2}\right)$ ．
B$\displaystyle -3 x\left(1+x^{2}\right)$ ．
C$\displaystyle \frac{x}{1+x^{2}}$ ．
D$\displaystyle -\frac{x}{1+x^{2}}$ ．
4选择题已知函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x \leqslant 0, \\ \frac{1}{n}, & \frac{1}{n+1}\lt x \leqslant \frac{1}{n}, n=1,2, \cdots,\end{array}\right.$ 则
A$\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的第一类间断点。
B$\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的第二类间断点．
C$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续但不可导。
D$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导。
5选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 是可逆矩阵，且 $\displaystyle \mathbf{A}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}$ 相似，则下列结论错误的是
A$\displaystyle \mathbf{A}^{\mathrm{T}}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}^{\mathrm{T}}$ 相似．
B$\displaystyle \mathbf{A}^{-1}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}^{-1}$ 相似．
C$\displaystyle \mathbf{A}+\mathbf{A}^{\mathrm{T}}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}+\mathbf{B}^{\mathrm{T}}$ 相似。
D$\displaystyle \mathbf{A}+\mathbf{A}^{-1}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}+\mathbf{B}^{-1}$ 相似。
6选择题设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ ，则 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2$ 在空间直角坐标下表示的二次曲面为
A单叶双曲面。
B双叶双曲面。
C椭球面。
D柱面．
7选择题设随机变量 $\displaystyle X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)(\sigma\gt 0)$ ，记 $\displaystyle p=P\left\{X \leqslant \mu+\sigma^{2}\right\}$ ，则（
A$\displaystyle p$ 随着 $\displaystyle \mu$ 的增加而增加。
B$\displaystyle p$ 随着 $\displaystyle \sigma$ 的增加而增加。
C$\displaystyle p$ 随着 $\displaystyle \mu$ 的增加而减少。
D$\displaystyle p$ 随着 $\displaystyle \sigma$ 的增加而减少。
8选择题随机试验 $\displaystyle E$ 有三种两两不相容的结果 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, A_{3}$ ，且三种结果发生的概率均为 $\displaystyle \frac{1}{3}$ ，将试验 $\displaystyle E$ 独立重复做 2 次，$\displaystyle X$ 表示 2 次试验中结果 $\displaystyle A_{1}$ 发生的次数，$\displaystyle Y$ 表示 2 次试验中结果 $\displaystyle A_{2}$ 发生的次数，则 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 的相关系数为
A$\displaystyle -\frac{1}{2}$ ．
B$\displaystyle -\frac{1}{3}$ ．
C$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．
D$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
9填空题$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} t \ln (1+t \sin t) \mathrm{d} t}{1-\cos x^{2}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
10填空题向量场 $\displaystyle \mathbf{A}(x, y, z)=(x+y+z) \mathbf{i}+x y \mathbf{j}+z \mathbf{k}$ 的旋度 $\displaystyle \operatorname{rot} \mathbf{A}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题设函数 $\displaystyle f(u, v)$ 可微，$\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle (x+1) z-y^{2}=x^{2} f(x-z, y)$ 确定，则 $\displaystyle \left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题设函数 $\displaystyle f(x)=\arctan x-\frac{x}{1+a x^{2}}$ ，且 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(0)=1$ ，则 $\displaystyle a=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}\lambda & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & 2 & \lambda+1\end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$
14填空题设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $\displaystyle N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，样本均值 $\displaystyle \bar{X}=9.5$ ，参数 $\displaystyle \mu$ 的置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8 ，则 $\displaystyle \mu$ 的置信度为 0.95 的双侧置信区间为 $\displaystyle \_\_\_\$
15解答题已知平面区域 $\displaystyle D=\left\{(r, \theta) \mid 2 \leqslant r \leqslant 2(1+\cos \theta),-\frac{\pi}{2} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}$ ，计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
16解答题设函数 $\displaystyle y(x)$ 满足方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+k y=0$ ，其中 $\displaystyle 0\lt k\lt 1$ ．（I）证明：反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$ 收敛；（II）若 $\displaystyle y(0)=1, y^{\prime}(0)=1$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$ 的值．
17解答题设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}=(2 x+1) \mathrm{e}^{2 x-y}$ ，且 $\displaystyle f(0, y)=y+1, L_{t}$ 是从点 $\displaystyle (0,0)$ 到点 $\displaystyle (1, t)$ 的光滑曲线．计算曲线积分 $\displaystyle I(t)=\int_{L_{t}} \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial f(x, y)}{\partial y} \mathrm{~d} y$ ，并求 $\displaystyle I(t)$ 的最小值．
18解答题设有界区域 $\displaystyle \Omega$ 由平面 $\displaystyle 2 x+y+2 z=2$ 与三个坐标平面围成，$\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle \Omega$ 整个表面的外侧，计算曲面积分 $\displaystyle I=\iint_{\Sigma}\left(x^{2}+1\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-2 y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
19解答题已知函数 $\displaystyle f(x)$ 可导，且 $\displaystyle f(0)=1,0\lt f^{\prime}(x)\lt\frac{1}{2}$ 。设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)(n=1,2, \cdots)$ 。证明：（I）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)$ 绝对收敛；（II） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，且 $\displaystyle 0\lt\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}\lt 2$ ．
20解答题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 2 & a & 1 \\ -1 & 1 & a\end{array}\right), \mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}2 & 2 \\ 1 & a \\ -a-1 & -2\end{array}\right)$ ．当 $\displaystyle a$ 为何值时，方程 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{B}$ 无解、有唯一 解、有无穷多解？在有解时，求解此方程。
21解答题已知矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ．（ I）求 $\displaystyle \mathbf{A}^{99}$ ；（II）设3阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right)$ 满足 $\displaystyle \mathbf{B}^{2}=\mathbf{B} \mathbf{A}$ 。记 $\displaystyle \mathbf{B}^{100}=\left(\mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}, \mathbf{\beta}_{3}\right)$ ，将 $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}, \mathbf{\beta}_{3}$ 分别表示为 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 的线性组合。
22解答题设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 在区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 0\lt x\lt 1, x^{2}\lt y\lt\sqrt{x}\right\}$ 上服从均匀分布，令 $\displaystyle U= \begin{cases}1, & X \leqslant Y, \\ 0, & X\gt Y .\end{cases}$（I）写出 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度；（II）问 $\displaystyle U$ 与 $\displaystyle X$ 是否相互独立？并说明理由；（III）求 $\displaystyle Z=U+X$ 的分布函数 $\displaystyle F(z)$ 。
23解答题设总体 $\displaystyle X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3 x^{2}}{\theta^{3}}, & 0\lt x\lt\theta, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 其中 $\displaystyle \theta \in(0,+\infty)$ 为末知参数，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, X_{3}$为来自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本，令 $\displaystyle T=\max \left\{X_{1}, X_{2}, X_{3}\right\}$ 。（I）求 $\displaystyle T$ 的概率密度；（II）确定 $\displaystyle a$ ，使得 $\displaystyle a T$ 为 $\displaystyle \theta$ 的无偏估计。