| 1 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，其导函数的图形如图所示，则A函数 $\displaystyle f(x)$ 有 2 个极值点，曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 有 2 个拐点． B函数 $\displaystyle f(x)$ 有 2 个极值点，曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 有 3 个拐点。 C函数 $\displaystyle f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 有 1 个拐点。 D函数 $\displaystyle f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 有 2 个拐点。 |
| 2 | 选择题 | 已知函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x-y}$ ，则（ ）$\displaystyle (\mathrm{A}) f_{x}^{\prime}-f_{y}^{\prime}=0$.A$\displaystyle f_{x}^{\prime}+f_{y}^{\prime}=0$ ．$\displaystyle (\mathrm{C}) f_{x}^{\prime}-f_{y}^{\prime}=f$. B$\displaystyle f_{x}^{\prime}+f_{y}^{\prime}=f$ ． |
| 3 | 选择题 | 设 $\displaystyle J_{i}=\iint_{D_{i}} \sqrt[3]{x-y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y(i=1,2,3)$ ，其中
$$
\begin{gathered}
D_{1}=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}, \\
D_{2}=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant \sqrt{x}\}, \quad D_{3}=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, x^{2} \leqslant y \leqslant 1\right\},
\end{gathered}$$
则（ ）A$\displaystyle J_{1}\lt J_{2}\lt J_{3}$ ． B$\displaystyle J_{3}\lt J_{1}\lt J_{2}$ ．$\displaystyle (\mathrm{C}) J_{2}\lt J_{3}\lt J_{1}$ ． C$\displaystyle J_{2}\lt J_{1}\lt J_{3}$ ． |
| 4 | 选择题 | 级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \sin (n+k)(k$ 为常数）（ ）A绝对收敛。 B条件收敛。 C发散． D收敛性与 $\displaystyle k$ 有关。 |
| 5 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 是可逆矩阵，且 $\displaystyle \mathbf{A}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}$ 相似，则下列结论错误的是（）A$\displaystyle \mathbf{A}^{\mathrm{T}}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}^{\mathrm{T}}$ 相似。 B$\displaystyle \mathbf{A}^{-1}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}^{-1}$ 相似。 C$\displaystyle \mathbf{A}+\mathbf{A}^{\mathrm{T}}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}+\mathbf{B}^{\mathrm{T}}$ 相似。 D$\displaystyle \mathbf{A}+\mathbf{A}^{-1}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}+\mathbf{B}^{-1}$ 相似． |
| 6 | 选择题 | 设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+2 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}$ 的正、负惯性指数分别为 1,2 ，则 （ ）A$\displaystyle a\gt 1$ ． B$\displaystyle a\lt-2$ ． C$\displaystyle -2\lt a\lt 1$ ． D$\displaystyle a=1$ 或 $\displaystyle a=-2$ 。 |
| 7 | 选择题 | 设 $\displaystyle A, B$ 为两个随机事件，且 $0\lt PA$\displaystyle P(\bar{B} \mid \bar{A})=1$ ． B$\displaystyle P(A \mid \bar{B})=0$ ． C$\displaystyle P(A \cup B)=1$ ． D$\displaystyle P(B \mid A)=1$ ． |
| 8 | 选择题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，且 $\displaystyle X \sim N(1,2), Y \sim N(1,4)$ ，则 $\displaystyle D(X Y)=$ |
| 9 | 填空题 | 已知函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \sin 2 x}-1}{\mathrm{e}^{3 x}-1}=2$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 10 | 填空题 | 极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left(\sin \frac{1}{n}+2 \sin \frac{2}{n}+\cdots+n \sin \frac{n}{n}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 11 | 填空题 | 设函数 $\displaystyle f(u, v)$ 可微，$\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle (x+1) z-y^{2}=x^{2} f(x-z, y)$ 确定，则 $\displaystyle \left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 12 | 填空题 | 设 $\displaystyle D=\{(x, y)| | x \mid \leqslant y \leqslant 1,-1 \leqslant x \leqslant 1\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} x^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 13 | 填空题 | 行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}\lambda & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & 2 & \lambda+1\end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 14 | 填空题 | 设袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回地取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为 4 的概率 |
| 15 | 解答题 | 求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\cos 2 x+2 x \sin x)^{\frac{1}{x^{4}}}$ ． |
| 16 | 解答题 | 设某商品的最大需求量为 1200 件，该商品的需求函数 $\displaystyle Q=Q(p)$ ，需求弹性 $\displaystyle \eta=\frac{p}{120-p}$ （ $\displaystyle \eta\gt 0$ ），$\displaystyle p$ 为单价（万元）。
（I）求需求函数的表达式；（II）求 $\displaystyle p=100$ 万元时的边际收益，并说明其经济意义． |
| 17 | 解答题 | 设函数 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{1}\left|t^{2}-x^{2}\right| \mathrm{d} t(x\gt 0)$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，并求 $\displaystyle f(x)$ 的最小值． |
| 18 | 解答题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，且满足 $\displaystyle \int_{0}^{x} f(x-t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t+\mathrm{e}^{-x}-1$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ． |
| 19 | 解答题 | 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+2}}{(n+1)(2 n+1)}$ 的收敛域及和函数． |
| 20 | 解答题 | 设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1-a \\ 1 & 0 & a \\ a+1 & 1 & a+1\end{array}\right), \mathbf{\beta}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 2 a-2\end{array}\right)$ ，且方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{\beta}$ 无解．（I）求 $\displaystyle a$ 的值；（II）求方程组 $\displaystyle \mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{\beta}$ 的通解．() $\displaystyle f_{x}^{\prime}-f_{y}^{\prime}=0$ | (B) $\displaystyle f_{x}^{\prime}+f_{y}^{\prime}=0$ | (C) $\displaystyle f_{x}^{\prime}-f_{y}^{\prime}=f$ | (D) $\displaystyle f_{x}^{\prime}+f_{y}^{\prime}=f$ |
| 21 | 解答题 | 已知矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ．（I）求 $\displaystyle A^{99}$ ；（II）设3阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right)$ 满足 $\displaystyle \mathbf{B}^{2}=\mathbf{B} \mathbf{A}$ 。记 $\displaystyle \mathbf{B}^{100}=\left(\mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}, \mathbf{\beta}_{3}\right)$ ，将 $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}, \mathbf{\beta}_{3}$ 分别表示为 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 的线性组合。() $\displaystyle f_{x}^{\prime}-f_{y}^{\prime}=0$ | (B) $\displaystyle f_{x}^{\prime}+f_{y}^{\prime}=0$ | (C) $\displaystyle f_{x}^{\prime}-f_{y}^{\prime}=f$ | (D) $\displaystyle f_{x}^{\prime}+f_{y}^{\prime}=f$ |
| 22 | 解答题 | 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 在区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 0\lt x\lt 1, x^{2}\lt y\lt\sqrt{x}\right\}$ 上服从均匀分布，令 $\displaystyle U= \begin{cases}1, & X \leqslant Y, \\ 0, & X\gt Y .\end{cases}$（I）写出 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度；（II）问 $\displaystyle U$ 与 $\displaystyle X$ 是否相互独立？并说明理由；（III）求 $\displaystyle Z=U+X$ 的分布函数 $\displaystyle F(z)$ 。() $\displaystyle f_{x}^{\prime}-f_{y}^{\prime}=0$ | (B) $\displaystyle f_{x}^{\prime}+f_{y}^{\prime}=0$ | (C) $\displaystyle f_{x}^{\prime}-f_{y}^{\prime}=f$ | (D) $\displaystyle f_{x}^{\prime}+f_{y}^{\prime}=f$ |
| 23 | 解答题 | 设总体 $\displaystyle X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{3 x^{2}}{\theta^{3}}, & 0\lt x\lt\theta, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$$
其中 $\displaystyle \theta \in(0,+\infty)$ 为未知参数，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 为来自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本，令 $\displaystyle T= $\max \left\{X_{1}, X_{2}, X_{3}\right\}$ 。（I）求 $\displaystyle T$ 的概率密度；（II）确定 $\displaystyle a$ ，使得 $\displaystyle E(a T)=\theta$ 。$() $\displaystyle f_{x}^{\prime}-f_{y}^{\prime}=0$ | (B) $\displaystyle f_{x}^{\prime}+f_{y}^{\prime}=0$ | (C) $\displaystyle f_{x}^{\prime}-f_{y}^{\prime}=f$ | (D) $\displaystyle f_{x}^{\prime}+f_{y}^{\prime}=f$ |