2016年 数学二 真题

共23题

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#题型题目
1选择题设 $\displaystyle \alpha_{1}=x(\cos \sqrt{x}-1), \alpha_{2}=\sqrt{x} \ln (1+\sqrt[3]{x}), \alpha_{3}=\sqrt[3]{x+1}-1$ 。当 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是
A$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ．
B$\displaystyle \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{1}$ ．
C$\displaystyle \alpha_{2}, \alpha_{1}, \alpha_{3}$ ．
D$\displaystyle \alpha_{3}, \alpha_{2}, \alpha_{1}$ ．
2选择题已知函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2(x-1), & x\lt 1, \\ \ln x, & x \geqslant 1,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle f(x)$ 的一个原函数是
A$\displaystyle F(x)= \begin{cases}(x-1)^{2}, & x\lt 1, \\ x(\ln x-1), & x \geqslant 1 .\end{cases}$
B$\displaystyle F(x)= \begin{cases}(x-1)^{2}, & x\lt 1, \\ x(\ln x+1)-1, & x \geqslant 1 .\end{cases}$
C$\displaystyle F(x)= \begin{cases}(x-1)^{2}, & x\lt 1, \\ x(\ln x+1)+1, & x \geqslant 1 .\end{cases}$
D$\displaystyle F(x)= \begin{cases}(x-1)^{2}, & x\lt 1, \\ x(\ln x-1)+1, & x \geqslant 1 .\end{cases}$
3选择题反常积分（1） $\displaystyle \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x,(2) \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性为（
A（1）收敛，（2）收敛。
B（1）收敛，（2）发散．
C（1）发散，（2）收敛。
D（1）发散，（2）发散．
4选择题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，其导函数的图形如图所示，则
A函数 $\displaystyle f(x)$ 有 2 个极值点，曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 有 2 个拐点．
B函数 $\displaystyle f(x)$ 有 2 个极值点，曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 有 3 个拐点。
C函数 $\displaystyle f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 有 1 个拐点。
D函数 $\displaystyle f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 有 2 个拐点。
5选择题设函数 $\displaystyle f_{i}(x)(i=1,2)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle f_{i}^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\lt 0(i=1,2)$ ．若两条曲线 $\displaystyle y=f_{i}(x) (i=1,2)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处具有公切线 $\displaystyle y=g(x)$ ，且在该点处曲线 $\displaystyle y=f_{1}(x)$ 的曲率大于曲线 $\displaystyle y=f_{2}(x)$ 的曲率，则在 $\displaystyle x_{0}$ 的某个邻域内，有（
A$\displaystyle f_{1}(x) \leqslant f_{2}(x) \leqslant g(x)$ ．
B$\displaystyle f_{2}(x) \leqslant f_{1}(x) \leqslant g(x)$.
C$\displaystyle f_{1}(x) \leqslant g(x) \leqslant f_{2}(x)$ ．
D$\displaystyle f_{2}(x) \leqslant g(x) \leqslant f_{1}(x)$ ．
6选择题已知函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x-y}$ ，则
A$\displaystyle f_{x}^{\prime}-f_{y}^{\prime}=0$ ．
B$\displaystyle f_{x}^{\prime}+f_{y}^{\prime}=0$ ．
C$\displaystyle f_{x}^{\prime}-f_{y}^{\prime}=f$.
D$\displaystyle f_{x}^{\prime}+f_{y}^{\prime}=f$ ．
7选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 是可逆矩阵，且 $\displaystyle \mathbf{A}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}$ 相似，则下列结论错误的是（
A$\displaystyle \mathbf{A}^{\mathrm{T}}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}^{\mathrm{T}}$ 相似．
B$\displaystyle \mathbf{A}^{-1}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}^{-1}$ 相似。
C$\displaystyle \mathbf{A}+\mathbf{A}^{\mathrm{T}}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}+\mathbf{B}^{\mathrm{T}}$ 相似。
D$\displaystyle \mathbf{A}+\mathbf{A}^{-1}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}+\mathbf{B}^{-1}$ 相似。
8选择题设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+2 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}$ 的正、负惯性指数分别为 1,2 ，则
A$\displaystyle a\gt 1$ ．
B$\displaystyle a\lt-2$ ．
C$\displaystyle -2\lt a\lt 1$ ．
D$\displaystyle a=$
9填空题曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{3}}{1+x^{2}}+\arctan \left(1+x^{2}\right)$ 的斜渐近线方程为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
10填空题极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left(\sin \frac{1}{n}+2 \sin \frac{2}{n}+\cdots+n \sin \frac{n}{n}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
11填空题以 $\displaystyle y=x^{2}-\mathrm{e}^{x}$ 和 $\displaystyle y=x^{2}$ 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)=(x+1)^{2}+2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则当 $\displaystyle n \geqslant 2$ 时，$\displaystyle f^{(n)}(0) =$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
13填空题已知动点 $\displaystyle P$ 在曲线 $\displaystyle y=x^{3}$ 上运动，记坐标原点与点 $\displaystyle P$ 间的距离为 $\displaystyle l$ ．若点 $\displaystyle P$ 的横坐标对时间的变化率为常数 $\displaystyle v_{0}$ ，则当点 $\displaystyle P$ 运动到点 $\displaystyle (1,1)$ 时，$\displaystyle l$ 对时间的变化率是 $\displaystyle \_\_\_\_$。
14填空题设矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}a & -1 & -1 \\ -1 & a & -1 \\ -1 & -1 & a\end{array}\right)$ 与矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ 等价，则 $\displaystyle a=$
15解答题求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\cos 2 x+2 x \sin x)^{\frac{1}{x^{4}}}$ ．
16解答题设函数 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{1}\left|t^{2}-x^{2}\right| \mathrm{d} t(x\gt 0)$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，并求 $\displaystyle f(x)$ 的最小值．
17解答题已知函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right) z+\ln z+2(x+y+1)=0$ 确定，求 $\displaystyle z=z(x, y)$ 的极值。
18解答题设 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=1, y=x, y=-x$ 围成的有界区域，计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-x y-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
19解答题已知 $\displaystyle y_{1}(x)=\mathrm{e}^{x}, y_{2}(x)=u(x) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶微分方程 $\displaystyle (2 x-1) y^{\prime \prime}-(2 x+1) y^{\prime}+2 y=0$ 的两个解。若 $\displaystyle u(-1)=\mathrm{e}, u(0)=-1$ ，求 $\displaystyle u(x)$ ，并写出该微分方程的通解。
20解答题设 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle y=\sqrt{1-x^{2}}(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 与 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\cos ^{3} t \\ y=\sin ^{3} t\end{array}\left(0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2}\right)\right.$ 围成的平面区域，求 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。
21解答题已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 上连续，在 $\displaystyle \left(0, \frac{3 \pi}{2}\right)$ 内是函数 $\displaystyle \frac{\cos x}{2 x-3 \pi}$ 的一个原函数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ．（I）求 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle \left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 上的平均值；（II）证明 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle \left(0, \frac{3 \pi}{2}\right)$ 内存在唯一零点．
22解答题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1-a \\ 1 & 0 & a \\ a+1 & 1 & a+1\end{array}\right), \mathbf{\beta}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 2 a-2\end{array}\right)$ ，且方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{\beta}$ 无解．（I）求 $\displaystyle a$ 的值；（II）求方程组 $\displaystyle \mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{\beta}$ 的通解。
23解答题已知矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ．（I）求 $\displaystyle \mathbf{A}^{99}$ ；（II）设3阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right)$ 满足 $\displaystyle \mathbf{B}^{2}=\mathbf{B} \mathbf{A}$ 。记 $\displaystyle \mathbf{B}^{100}=\left(\mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}, \mathbf{\beta}_{3}\right)$ ，将 $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}, \mathbf{\beta}_{3}$ 分别表示为 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 的线性组合。