| 1 | 选择题 | 若函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x\gt 0 \\ b, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则（ ）A$\displaystyle a b=\frac{1}{2}$ ． B$\displaystyle a b=-\frac{1}{2}$ ． C$\displaystyle a b=0$ ． D$\displaystyle a b=2$ ． |
| 2 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 可导，且 $\displaystyle f(x) f^{\prime}(x)\gt 0$ ，则（ ）A$\displaystyle f(1)\gt f(-1)$ ． B$\displaystyle f(1)\lt f(-1)$ ． C$\displaystyle |f(1)|\gt|f(-1)|$ ． D$\displaystyle |f(1)|\lt|f(-1)|$ ． |
| 3 | 选择题 | 函数 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{2} y+z^{2}$ 在点 $\displaystyle (1,2,0)$ 处沿向量 $\displaystyle \mathbf{n}=(1,2,2)$ 的方向导数为（ ） |
| 4 | 选择题 | 甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10 （单位：$\displaystyle m$ ）处，图中，实线表示甲的速度曲线 $\displaystyle v=v_{1}(t)$（单位： $\displaystyle \mathrm{m} / \mathrm{s}$ ），虚线表示乙的速度曲线 $\displaystyle v=v_{2}(t)$ ，三块阴影部分面积的数值依次是 $\displaystyle 10,20,3$ 。计时开始后乙追上甲的时刻记为 $\displaystyle t_{0}$（单位： s ），则（ ）A$\displaystyle t_{0}=10$ ． B$\displaystyle 15\lt t_{0}\lt 20$ ． C$\displaystyle t_{0}=25$ ． D$\displaystyle t_{0}\gt 25$ ． |
| 5 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}$ 为 $\displaystyle n$ 维单位列向量， $\displaystyle \mathbf{E}$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵，则（）A$\displaystyle \mathbf{E}-\mathbf{\alpha} \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆． B$\displaystyle \mathbf{E}+\mathbf{\alpha} \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆． C$\displaystyle \mathbf{E}+2 \mathbf{\alpha} \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆． D$\displaystyle \mathbf{E}-2 \mathbf{\alpha} \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆． |
| 6 | 选择题 | 已知矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \mathbf{B}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \mathbf{C}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，则（ ）A$\displaystyle \mathbf{A}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 相似， $\displaystyle \mathbf{B}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 相似． B$\displaystyle \mathbf{A}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 相似， $\displaystyle \mathbf{B}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 不相似． C$\displaystyle \mathbf{A}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 不相似， $\displaystyle \mathbf{B}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 相似． D$\displaystyle \mathbf{A}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 不相似， $\displaystyle \mathbf{B}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 不相似． |
| 7 | 选择题 | 设 $\displaystyle A, B$ 为随机事件．若 $0\lt PA$\displaystyle P(B \mid A)\gt P(B \mid \bar{A})$ ． B$\displaystyle P(B \mid A)\lt P(B \mid \bar{A})$ ． C$\displaystyle P(\bar{B} \mid A)\gt P(B \mid \bar{A})$ ． D$\displaystyle P(\bar{B} \mid A)\lt P(B \mid \bar{A})$ ． |
| 8 | 选择题 | 设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $\displaystyle N(\mu, 1)$ 的简单随机样本，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，则下列结论中不正确的是（ ）A$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}$ 服从 $\displaystyle \chi^{2}$ 分布。 B$\displaystyle 2\left(X_{n}-X_{1}\right)^{2}$ 服从 $\displaystyle \chi^{2}$ 分布． C$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ 服从 $\displaystyle \chi^{2}$ 分布。 D$\displaystyle n(\bar{X}-\mu)^{2}$ 服从 服从 $\displaystyle \chi^{2}$ 分布。 |
| 9 | 填空题 | 已知函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$ ，则 $\displaystyle f^{(3)}(0)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 10 | 填空题 | 微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+3 y=0$ 的通解为 $\displaystyle y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 11 | 填空题 | 若曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x-a y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}-1}$ 在区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}\lt 1\right\}$ 内与路径无关，则 $\displaystyle a=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 12 | 填空题 | 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^{n-1}$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内的和函数 $\displaystyle S(x)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 13 | 填空题 | 设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 为线性无关的3 维列向量组，则向量组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{3}$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 14 | 填空题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 的分布函数为 $\displaystyle F(x)=0.5 \Phi(x)+0.5 \Phi\left(\frac{x-4}{2}\right)$ ，其中 $\displaystyle \Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则 $\displaystyle E(X)=$ |
| 15 | 解答题 | 设函数 $\displaystyle f(u, v)$ 具有 2 阶连续偏导数，$\displaystyle y=f\left(\mathrm{e}^{x}, \cos x\right)$ ，求 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0},\left.\frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{x=0}$ ． |
| 16 | 解答题 | 求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}} \ln \left(1+\frac{k}{n}\right)$ ． |
| 17 | 解答题 | 已知函数 $\displaystyle y(x)$ 由方程 $\displaystyle x^{3}+y^{3}-3 x+3 y-2=0$ 确定，求 $\displaystyle y(x)$ 的极值． |
| 18 | 解答题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上具有 2 阶导数，且 $\displaystyle f(1)\gt 0, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}\lt 0$ 。证明：（I）方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一个实根；（II）方程 $\displaystyle f(x) f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}=0$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在两个不同实根． |
| 19 | 解答题 | 设薄片型物体 $\displaystyle S$ 是圆锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $\displaystyle z^{2}=2 x$ 割下的有限部分，其上任一点的密度为 $\displaystyle \mu(x, y, z)=9 \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．记圆锥面与柱面的交线为 $\displaystyle C$ ．（I）求 $\displaystyle C$ 在 $\displaystyle x O y$ 平面上的投影曲线的方程；（II）求 $\displaystyle S$ 的质量 $\displaystyle M$ 。 |
| 20 | 解答题 | 设3阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right)$ 有3个不同的特征值，且 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{3}=\mathbf{\alpha}_{1}+2 \mathbf{\alpha}_{2}$ ．（ I ）证明 $\displaystyle r(\mathbf{A})=2$ ；（II）设 $\displaystyle \mathbf{\beta}=\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}+\mathbf{\alpha}_{3}$ ，求方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{\beta}$ 的通解． |
| 21 | 解答题 | 设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 在正交变换 $\displaystyle \mathbf{x}=\mathbf{Q y}$ 下的标准形为 $\displaystyle \lambda_{1} y_{1}^{2}+\lambda_{2} y_{2}^{2}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{a}$ 的值及一个正交矩阵 $\displaystyle \mathbf{Q}$ ． |
| 22 | 解答题 | 设随机变量 $\displaystyle X, Y$ 相互独立，且 $\displaystyle X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=0\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}, Y$ 的概率密度为 $\displaystyle f(y)= \begin{cases}2 y, & 0\lt y\lt 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$（I）求 $\displaystyle P\{Y \leqslant E(Y)\}$ ；（II）求 $\displaystyle Z=X+Y$ 的概率密度． |
| 23 | 解答题 | 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 $\displaystyle n$ 次测量，该物体的质量 $\displaystyle \mu$ 是已知的。设 $\displaystyle n$ 次测量结果 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 相互独立且均服从正态分布 $\displaystyle N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，该工程师记录的是 $\displaystyle n$ 次测量的绝对误差 $\displaystyle Z_{i}=\left|X_{i}-\mu\right|(i=1,2, \cdots, n)$ 。利用 $\displaystyle Z_{1}, Z_{2}, \cdots, Z_{n}$ 估计 $\displaystyle \sigma$ 。（I）求 $\displaystyle Z_{1}$ 的概率密度；（II）利用一阶矩求 $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 的矩估计量；（III）求 $\displaystyle \sigma$ 的最大似然估计量． |