| 1 | 选择题 | 若函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x\gt 0, \\ b, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则（ ）A$\displaystyle a b=\frac{1}{2}$ ． B$\displaystyle a b=-\frac{1}{2}$ ．$\displaystyle ($ C $\displaystyle ) a b=0$. C$\displaystyle a b=2$ ． |
| 2 | 选择题 | 二元函数 $\displaystyle z=x y(3-x-y)$ 的极值点是（ ）A$\displaystyle (0,0)$ ． B$\displaystyle (0,3)$ ． C$\displaystyle (3,0)$ ． D$\displaystyle (1,1)$ ． |
| 3 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 可导，且 $\displaystyle f(x) f^{\prime}(x)\gt 0$ ，则（ ）A$\displaystyle f(1)\gt f(-1)$ ． B$\displaystyle f(1)\lt f(-1)$ ． C$\displaystyle |f(1)|\gt|f(-1)|$ ． D$\displaystyle |f(1)|\lt|f(-1)|$ ． |
| 4 | 选择题 | 若级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left[\sin \frac{1}{n}-k \ln \left(1-\frac{1}{n}\right)\right]$ 收敛，则 $\displaystyle k=(\quad)$ |
| 5 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}$ 为 $\displaystyle n$ 维单位列向量， $\displaystyle \mathbf{E}$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵，则（）A$\displaystyle \mathbf{E}-\mathbf{\alpha} \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆． B$\displaystyle \mathbf{E}+\mathbf{\alpha} \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆． C$\displaystyle \mathbf{E}+2 \mathbf{\alpha} \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆． D$\displaystyle \mathbf{E}-2 \mathbf{\alpha} \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆． |
| 6 | 选择题 | 已知矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \mathbf{B}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \mathbf{C}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，则（ ）A$\displaystyle \mathbf{A}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 相似， $\displaystyle \mathbf{B}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 相似． B$\displaystyle \mathbf{A}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 相似， $\displaystyle \mathbf{B}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 不相似。 C$\displaystyle \mathbf{A}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 不相似， $\displaystyle \mathbf{B}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 相似． D$\displaystyle \mathbf{A}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 不相似， $\displaystyle \mathbf{B}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 不相似。 |
| 7 | 选择题 | 设 $\displaystyle A, B, C$ 为三个随机事件，且 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle C$ 相互独立，$\displaystyle B$ 与 $\displaystyle C$ 相互独立，则 $\displaystyle A \cup B$ 与 $\displaystyle C$ 相互独立的充分必要条件是（ ）A$\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 相互独立． B$\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 互不相容． C$\displaystyle A B$ 与 $\displaystyle C$ 相互独立． D$\displaystyle A B$ 与 $\displaystyle C$ 互不相容． |
| 8 | 选择题 | 设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $\displaystyle N(\mu, 1)$ 的简单随机样本，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，则下列结论中不正确的是（ ）A$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}$ 服从 $\displaystyle \chi^{2}$ 分布。 B$\displaystyle 2\left(X_{n}-X_{1}\right)^{2}$ 服从 $\displaystyle \chi^{2}$ 分布． C$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ 服从 $\displaystyle \chi^{2}$ 分布。 D$\displaystyle n(\bar{X}-\mu)^{2}$ 服从 服从 $\displaystyle \chi^{2}$ 分布。 |
| 9 | 填空题 | $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(\sin ^{3} x+\sqrt{\pi^{2}-x^{2}}\right) \mathrm{d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 10 | 填空题 | 差分方程 $\displaystyle y_{t+1}-2 y_{t}=2^{t}$ 的通解为 $\displaystyle y_{t}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 11 | 填空题 | 设生产某产品的平均成本为 $\displaystyle \bar{C}(Q)=1+\mathrm{e}^{-Q}$ ，其中产量为 $\displaystyle Q$ ，则边际成本为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 12 | 填空题 | 设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数，且 $\displaystyle \mathrm{d} f(x, y)=y \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x+x(1+y) \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} y, f(0,0)=0$ ，则 $\displaystyle f(x, y)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 13 | 填空题 | 设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 为线性无关的3 维列向量组，则向量组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{3}$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 14 | 填空题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=-2\}=\frac{1}{2}, P\{X=1\}=a, P\{X=3\}=b$ ，若 $\displaystyle E(X)=0$ ，则 $\displaystyle D(X)$ ＝ |
| 15 | 解答题 | 求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{x-t} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t}{\sqrt{x^{3}}}$ ． |
| 16 | 解答题 | 计算积分 $\displaystyle \iint_{D} \frac{y^{3}}{\left(1+x^{2}+y^{4}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是第一象限中以曲线 $\displaystyle y=\sqrt{x}$ 与 $\displaystyle x$ 轴为边界的无界区域。 |
| 17 | 解答题 | 求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}} \ln \left(1+\frac{k}{n}\right)$ 。 |
| 18 | 解答题 | 已知方程 $\displaystyle \frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}=k$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内有实根，确定常数 $\displaystyle k$ 的取值范围． |
| 19 | 解答题 | 若 $\displaystyle a_{0}=1, a_{1}=0, a_{n+1}=\frac{1}{n+1}\left(n a_{n}+a_{n-1}\right)(n=1,2,3, \cdots), S(x)$ 为幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的和函数．（I）证明 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径不小于 1 。（II）证明 $\displaystyle (1-x) S^{\prime}(x)-x S(x)=0(x \in(-1,1))$ ，并求 $\displaystyle S(x)$ 的表达式。 |
| 20 | 解答题 | 设3阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right)$ 有3个不同的特征值，且 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{3}=\mathbf{\alpha}_{1}+2 \mathbf{\alpha}_{2}$ ．（I）证明 $\displaystyle r(\mathbf{A})=2$ ；（II）若 $\displaystyle \mathbf{\beta}=\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}+\mathbf{\alpha}_{3}$ ，求方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{\beta}$ 的通解． |
| 21 | 解答题 | 设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 在正交变换 $\displaystyle \mathbf{x}=\mathbf{Q} \mathbf{y}$ 下的标准形为 $\displaystyle \lambda_{1} y_{1}^{2}+\lambda_{2} y_{2}^{2}$ ，求 $\displaystyle a$ 的值及一个正交矩阵 $\displaystyle \mathbf{Q}$ ． |
| 22 | 解答题 | 设随机变量 $\displaystyle X, Y$ 相互独立，且 $\displaystyle X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=0\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}, Y$ 的概率密度为 $\displaystyle f(y) =\left\{\begin{array}{cl}2 y, & 0\lt y\lt 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$（I）求 $\displaystyle P\{Y \leqslant E(Y)\}$ ；（II）求 $\displaystyle Z=X+Y$ 的概率密度． |
| 23 | 解答题 | 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 $\displaystyle n$ 次测量，该物体的质量 $\displaystyle \mu$ 是已知的，设 $\displaystyle n$ 次测量结果 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 相互独立且均服从正态分布 $\displaystyle N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 。该工程师记录的是 $\displaystyle n$ 次测量的绝对误差 $\displaystyle Z_{i}=\left|X_{i}-\mu\right|(i=1,2, \cdots, n)$ ，利用 $\displaystyle Z_{1}, Z_{2}, \cdots, Z_{n}$ 估计 $\displaystyle \sigma$ 。（I）求 $\displaystyle Z_{1}$ 的概率密度；（II）利用一阶矩求 $\displaystyle \sigma$ 的矩估计量；（III）求 $\displaystyle \sigma$ 的最大似然估计量． |