| 1 | 选择题 | 若函数 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x\gt 0, \\ b, & x \leqslant 0\end{cases}$ $\displaystyle \text { 在 } x=0 \text { 处连续，则 }$A$\displaystyle a b=\frac{1}{2}$ ． B$\displaystyle a b=-\frac{1}{2}$ ． C$\displaystyle a b=0$. D$\displaystyle a b=2$ ． |
| 2 | 选择题 | 设二阶可导函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(1)=f(-1)=1, f(0)=-1$ 且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，则A$\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x\gt 0$ ． B$\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x\lt 0$ ． C$\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x) \mathrm{d} x\gt\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ． D$\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x) \mathrm{d} x\lt\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$. |
| 3 | 选择题 | 设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，则A当 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin x_{n}=0$ 时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ． B当 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}+\sqrt{\left|x_{n}\right|}\right)=0$ 时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ． C当 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}+x_{n}^{2}\right)=0$ 时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ． D当 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}+\sin x_{n}\right)=0$ 时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ． |
| 4 | 选择题 | 微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+8 y=\mathrm{e}^{2 x}(1+\cos 2 x)$ 的特解可设为 $\displaystyle y^{*}=$A$\displaystyle A \mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ． B$\displaystyle A x \mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ． C$\displaystyle A \mathrm{e}^{2 x}+x \mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ． D$\displaystyle A x \mathrm{e}^{2 x}+x \mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ． |
| 5 | 选择题 | 设 $\displaystyle f(x, y)$ 具有一阶偏导数，且对任意的 $\displaystyle (x, y)$ ，都有 $\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}\gt 0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}\lt 0$ ，则 $\displaystyle (\mathrm{A}) f(0,0)\gt f(1,1)$ ．A$\displaystyle f(0,0)\lt f(1,1)$ ．$\displaystyle (\mathrm{C}) f(0,1)\gt f(1,0)$ ． B$\displaystyle f(0,1)\lt f(1,0)$ ． |
| 6 | 选择题 | 甲，乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10 （单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲线 $\displaystyle v=v_{1}(t)$（单位： $\displaystyle \mathrm{m} / \mathrm{s}$ ），虚线表示乙的速度曲线 $\displaystyle v=v_{2}(t)$ ，三块阴影部分面积的数值依次为 $\displaystyle 10,20,3$ 。计时开始后乙追上甲的时刻记为 $\displaystyle t_{0}$（单位： s ），则A$\displaystyle t_{0}=10$ ． B$\displaystyle 15\lt t_{0}\lt 20$ ．$\displaystyle (\mathrm{C}) t_{0}=25$ ． C$\displaystyle t_{0}\gt 25$ ． |
| 7 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为3阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{P}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right)$ 为可逆矩阵，使得 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，则
$$
\mathbf{A}\left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}+\mathbf{\alpha}_{3}\right)=(\quad)$$A$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}$ ． B$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{2}+2 \mathbf{\alpha}_{3}$. C$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{2}+\mathbf{\alpha}_{3}$. D$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}+2 \mathbf{\alpha}_{2}$ ． |
| 8 | 选择题 | 已知矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \mathbf{B}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \mathbf{C}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，则（ ）A$\displaystyle \mathbf{A}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 相似， $\displaystyle \mathbf{B}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 相似。 B$\displaystyle \mathbf{A}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 相似， $\displaystyle \mathbf{B}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 不相似。 C$\displaystyle \mathbf{A}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 不相似， $\displaystyle \mathbf{B}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 相似。 D$\displaystyle \mathbf{A}$ 与 $\displaystyle \mathbf{C}$ 不相似， $\displaystyle \mathbf{B}$ 与 $\displaystyle \boldsy$ |
| 9 | 填空题 | 曲线 $\displaystyle y=x\left(1+\arcsin \frac{2}{x}\right)$ 的斜渐近线方程为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 10 | 填空题 | 设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=t+\mathrm{e}^{t} \\ y=\sin t\end{array}\right.$ 确定，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=0}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ . |
| 11 | 填空题 | $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 12 | 填空题 | 设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数，且 $\displaystyle \mathrm{d} f(x, y)=y \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x+x(1+y) \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} y, f(0,0)=0$ ，则 $\displaystyle f(x, y)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 13 | 填空题 | $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 14 | 填空题 | 设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}4 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & a \\ 3 & 1 & -1\end{array}\right)$ 的一个特征向量为 $\displaystyle \left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle a=$ |
| 15 | 解答题 | 求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{x-t} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t}{\sqrt{x^{3}}}$ ． |
| 16 | 解答题 | 设函数 $\displaystyle f(u, v)$ 具有 2 阶连续偏导数，$\displaystyle y=f\left(\mathrm{e}^{x}, \cos x\right)$ ，求 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0},\left.\frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{x=0}$ ． |
| 17 | 解答题 | 求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}} \ln \left(1+\frac{k}{n}\right)$ ． |
| 18 | 解答题 | 已知函数 $\displaystyle y(x)$ 由方程 $\displaystyle x^{3}+y^{3}-3 x+3 y-2=0$ 确定，求 $\displaystyle y(x)$ 的极值． |
| 19 | 解答题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上具有 2 阶导数，且 $\displaystyle f(1)\gt 0, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}\lt 0$ 。证明：（I）方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一个实根；（II）方程 $\displaystyle f(x) f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}=0$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在两个不同实根。 |
| 20 | 解答题 | 已知平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 y\right\}$ ，计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D}(x+1)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ． |
| 21 | 解答题 | 设 $\displaystyle y(x)$ 是区间 $\displaystyle \left(0, \frac{3}{2}\right)$ 内的可导函数，且 $\displaystyle y(1)=0$ 。点 $\displaystyle P$ 是曲线 $\displaystyle l: y=y(x)$ 上的任意一点， $\displaystyle l$ 在点 $\displaystyle P$ 处的切线与 $\displaystyle y$ 轴相交于点 $\displaystyle \left(0, Y_{P}\right)$ ，法线与 $\displaystyle x$ 轴相交于点 $\displaystyle \left(X_{P}, 0\right)$ ，若 $\displaystyle X_{P}=Y_{P}$ ，求 $\displaystyle l$ 上点的坐标 $\displaystyle (x, y)$ 满足的方程。 |
| 22 | 解答题 | 设3阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right)$ 有3个不同的特征值，且 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{3}=\mathbf{\alpha}_{1}+2 \mathbf{\alpha}_{2}$ ．（I）证明 $\displaystyle r(\mathbf{A})=2$ ；（II）若 $\displaystyle \mathbf{\beta}=\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}+\mathbf{\alpha}_{3}$ ，求方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{\beta}$ 的通解． |
| 23 | 解答题 | 设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 在正交变换 $\displaystyle \mathbf{x}=\mathbf{Q} \mathbf{y}$ 下的标准形为 $\displaystyle \lambda_{1} y_{1}^{2}+\lambda_{2} y_{2}^{2}$ ，求 $\displaystyle a$ 的值及一个正交矩阵 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 。 |