2018年 数学一 真题

共23题

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#题型题目
1选择题下列函数中，在 $\displaystyle x=0$ 处不可导的是
A$\displaystyle f(x)=|x| \sin |x|$ ．
B$\displaystyle f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$ ．
C$\displaystyle f(x)=\cos |x|$ ．
D$\displaystyle f(x)=\cos \sqrt{|x|}$ ．
2选择题过点 $\displaystyle (1,0,0),(0,1,0)$ ，且与曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 相切的平面为
A$\displaystyle z=0$ 与 $\displaystyle x+y-z=1$ ．
B$\displaystyle z=0$ 与 $\displaystyle 2 x+2 y-z=2$ 。
C$\displaystyle x=y$ 与 $\displaystyle x+y-z=1$ ．
D$\displaystyle x=y$ 与 $\displaystyle 2 x+2 y-z=2$ ．
3选择题$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2 n+3}{(2 n+1)!}=$
A$\displaystyle \sin 1+\cos 1$ ．
B$\displaystyle 2 \sin 1+\cos 1$ ．
C$\displaystyle 2 \sin 1+2 \cos 1$ ．
D$\displaystyle 2 \sin 1+3 \cos 1$ ．
4选择题设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$ ，则
A$\displaystyle M\gt N\gt K$ ．
B$\displaystyle M\gt K\gt N$ ．
C$\displaystyle K\gt M\gt N$ ．
D$\displaystyle K\gt N\gt M$ ．
5选择题下列矩阵中，与矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 相似的为
A$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
B$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
C$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
D$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
6选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 为 $\displaystyle n$ 阶矩阵，记 $\displaystyle r(\mathbf{X})$ 为矩阵 $\displaystyle \mathbf{X}$ 的秩，（ $\displaystyle \mathbf{X}, \mathbf{Y}$ ）表示分块矩阵，则
A$\displaystyle r(\mathbf{A}, \mathbf{A} \mathbf{B})=r(\mathbf{A})$ ．
B$\displaystyle r(\mathbf{A}, \mathbf{B} \mathbf{A})=r(\mathbf{A})$.
C$\displaystyle r(\mathbf{A}, \mathbf{B})=\max \{r(\mathbf{A}), r(\mathbf{B})\}$.
D$\displaystyle r(\mathbf{A}, \mathbf{B})=r\left(\mathbf{A}^{\mathrm{T}}, \mathbf{B}^{\mathrm{T}}\right)$.
7选择题设随机变量 $\displaystyle X$ 的概率密度 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(1+x)=f(1-x)$ ，且 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0.6$ ，则 $\displaystyle P\{X\lt 0\}=$
A0．2．
B0．3．
C0．4．
D0．5．
8选择题设总体 $\displaystyle X$ 服从正态分布 $\displaystyle N\left(\mu, \sigma^{2}\right) . X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本，据此样本检验假设：$\displaystyle H_{0}: \mu=\mu_{0}, ~ H_{1}: \mu \neq \mu_{0}$ ，则
A如果在检验水平 $\displaystyle \alpha=0.05$ 下拒绝 $\displaystyle H_{0}$ ，那么 $\displaystyle \alpha=0.01$ 下必拒绝 $\displaystyle H_{0}$ 。
B如果在检验水平 $\displaystyle \alpha=0.05$ 下拒绝 $\displaystyle H_{0}$ ，那么 $\displaystyle \alpha=0.01$ 下必接受 $\displaystyle H_{0}$ 。
C如果在检验水平 $\displaystyle \alpha=0.05$ 下接受 $\displaystyle H_{0}$ ，那么 $\displaystyle \alpha=0.01$ 下必拒绝 $\displaystyle H_{0}$ 。
D如果在检验水平 $\displaystyle \alpha=0.05$ 下接受 $\displaystyle H_{0}$ ，那么 $\displaystyle \alpha=0.01$ 下必接受 $\displaystyle H_{0}$
9填空题若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)^{\frac{1}{\sin k x}}=\mathrm{e}$ ，则 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
10填空题设函数 $\displaystyle f(x)$ 具有 2 阶连续导数．若曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 过点 $\displaystyle (0,0)$ 且与曲线 $\displaystyle y=2^{x}$ 在点 $\displaystyle (1,2)$ 处相切，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题设 $\displaystyle \mathbf{F}(x, y, z)=x y \mathbf{i}-y z \mathbf{j}+z x \mathbf{k}$ ，则 $\displaystyle \operatorname{rot} \mathbf{F}(1,1,0)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
12填空题设 $\displaystyle L$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线，则 $\displaystyle \oint_{L} x y \mathrm{~d} s=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
13填空题设 2 阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 有两个不同特征值， $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$ 是 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的线性无关的特征向量，且满足 $\displaystyle \mathbf{A}^{2}\left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}\right)= \mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}$ ，则 $\displaystyle |\mathbf{A}|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
14填空题设随机事件 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 相互独立，$\displaystyle A$ 与 $\displaystyle C$ 相互独立，$\displaystyle B C=\varnothing$ ．若 $\displaystyle P(A)=P(B)=\frac{1}{2}, P(A C \mid A B \cup C) =\frac{1}{4}$ ，则 $\displaystyle P(C)=$
15解答题求不定积分 $\displaystyle \int \mathrm{e}^{2 x} \arctan \sqrt{\mathrm{e}^{x}-1} \mathrm{~d} x$ ．
16解答题将长为 2 m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形．三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。
17解答题设 $\displaystyle \Sigma$ 是曲面 $\displaystyle x=\sqrt{1-3 y^{2}-3 z^{2}}$ 的前侧，计算曲面积分 $\displaystyle I=\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+2\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
18解答题已知微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+y=f(x)$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的连续函数．（I）若 $\displaystyle f(x)=x$ ，求方程的通解；（II）若 $\displaystyle f(x)$ 是周期为 $\displaystyle T$ 的函数，证明：方程存在唯一的以 $\displaystyle T$ 为周期的解．
19解答题设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle x_{1}\gt 0, x_{n} \mathrm{e}^{x_{n+1}}=\mathrm{e}^{x_{n}}-1(n=1,2, \cdots)$ 。证明数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
20解答题设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{1}+a x_{3}\right)^{2}$ ，其中 $\displaystyle a$ 是参数。（I）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解；（II）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 的规范形。
21解答题已知 $\displaystyle a$ 是常数，且矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a\end{array}\right)$ 可经初等列变换化为矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ．（I）求 $\displaystyle a$ ；（II）求满足 $\displaystyle \mathbf{A P}=\mathbf{B}$ 的可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ．
22解答题设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，$\displaystyle X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=1\}=P\{X=-1\}=\frac{1}{2}, Y$ 服从参数为 $\displaystyle \lambda$ 的泊松分布。令 $\displaystyle Z=X Y$ 。（I）求 $\displaystyle \operatorname{Cov}(X, Z)$ ；（II）求 $\displaystyle Z$ 的概率分布．
23解答题设总体 $\displaystyle X$ 的概率密度为 $$ f(x ; \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty\lt x\lt+\infty \text {, }$$ 其中 $\displaystyle \sigma \in(0,+\infty)$ 为未知参数，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本。记 $\displaystyle \sigma$ 的最大似然估计量为 $\displaystyle \hat{\sigma}$ ．（I）求 $\displaystyle \hat{\sigma}$ ；（II）求 $\displaystyle E(\hat{\sigma}), D(\hat{\sigma})$ ．