| 1 | 选择题 | 下列函数中，在 $\displaystyle x=0$ 处不可导的是 $\displaystyle (\mathrm{A}) f(x)=|x| \sin |x|$ ．A$\displaystyle f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$ ．$\displaystyle (\mathrm{C}) f(x)=\cos |x|$ ． B$\displaystyle f(x)=\cos \sqrt{|x|}$ ． |
| 2 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则A当 $\displaystyle f^{\prime}(x)\lt 0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)\lt 0$ ． B当 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)\lt 0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)\lt 0$ ． C当 $\displaystyle f^{\prime}(x)\gt 0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)\lt 0$ ． D当 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)\lt 0$ ． |
| 3 | 选择题 | 设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$ ，则A$\displaystyle M\gt N\gt K$ ． B$\displaystyle M\gt K\gt N$ ． C$\displaystyle K\gt M\gt N$ ． D$\displaystyle K\gt N\gt M$ ． |
| 4 | 选择题 | 设某产品的成本函数 $\displaystyle C(Q)$ 可导，其中 $\displaystyle Q$ 为产量．若产量为 $\displaystyle Q_{0}$ 时平均成本最小，则（A(选项见图) B(选项见图) C(选项见图) D(选项见图) |
| 5 | 选择题 | 下列矩阵中，与矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 相似的为（A$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． B$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． C$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． D$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． |
| 6 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 为 $\displaystyle n$ 阶矩阵，记 $\displaystyle r(\mathbf{X})$ 为矩阵 $\displaystyle \mathbf{X}$ 的秩，$\displaystyle (\mathbf{X}, \mathbf{Y})$ 表示分块矩阵，则A$\displaystyle r(\mathbf{A}, \mathbf{A} \mathbf{B})=r(\mathbf{A})$ ． B$\displaystyle r(\mathbf{A}, \mathbf{B} \mathbf{A})=r(\mathbf{A})$. C$\displaystyle r(\mathbf{A}, \mathbf{B})=\max \{r(\mathbf{A}), r(\mathbf{B})\}$. D$\displaystyle r(\mathbf{A}, \mathbf{B})=r\left(\mathbf{A}^{\mathrm{T}}, \mathbf{B}^{\mathrm{T}}\right)$ ． |
| 7 | 选择题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 的概率密度 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(1+x)=f(1-x)$ ，且 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0.6$ ，则 $\displaystyle P\{X\lt 0\} =$ |
| 8 | 选择题 | 设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $\displaystyle N\left(\mu, \sigma^{2}\right)(\sigma\gt 0)$ 的简单随机样本．令 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, S= \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}, S^{*}=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}}$ ，则A$\displaystyle \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n)$ ． B$\displaystyle \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n-1)$ ． C$\displaystyle \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^{*}} \sim t(n)$ ． D$\displaystyle \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^{*}}$ |
| 9 | 填空题 | 曲线 $\displaystyle y=x^{2}+2 \ln x$ 在其拐点处的切线方程是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 10 | 填空题 | $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x} \arcsin \sqrt{1-\mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。() $\displaystyle f(x)=|x| \sin |x|$ | (B) $\displaystyle f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$ | (C) $\displaystyle f(x)=\cos |x|$ | (D) $\displaystyle f(x)=\cos \sqrt{|x|}$ |
| 11 | 填空题 | 差分方程 $\displaystyle \Delta^{2} y_{x}-y_{x}=5$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．() $\displaystyle f(x)=|x| \sin |x|$ | (B) $\displaystyle f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$ | (C) $\displaystyle f(x)=\cos |x|$ | (D) $\displaystyle f(x)=\cos \sqrt{|x|}$ |
| 12 | 填空题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x+\Delta x)-f(x)=2 x f(x) \Delta x+o(\Delta x)(\Delta x \rightarrow 0)$ ，且 $\displaystyle f(0)=2$ ，则 $\displaystyle f(1) =$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．() $\displaystyle f(x)=|x| \sin |x|$ | (B) $\displaystyle f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$ | (C) $\displaystyle f(x)=\cos |x|$ | (D) $\displaystyle f(x)=\cos \sqrt{|x|}$ |
| 13 | 填空题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 是线性无关的向量组。若 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{1}=\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{2}=\mathbf{\alpha}_{2}+\mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{3}= \mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{3}$ ，则 $\displaystyle |\mathbf{A}|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．() $\displaystyle f(x)=|x| \sin |x|$ | (B) $\displaystyle f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$ | (C) $\displaystyle f(x)=\cos |x|$ | (D) $\displaystyle f(x)=\cos \sqrt{|x|}$ |
| 14 | 填空题 | 随机事件 $\displaystyle A, B, C$ 相互独立，且 $\displaystyle P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}$ ，则 $\displaystyle P(A C \mid A \cup B)=$() $\displaystyle f(x)=|x| \sin |x|$ | (B) $\displaystyle f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$ | (C) $\displaystyle f(x)=\cos |x|$ | (D) $\displaystyle f(x)=\cos \sqrt{|x|}$ |
| 15 | 解答题 | 已知实数 $\displaystyle a, b$ 满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(a x+b) \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-x\right]=2$ ，求 $\displaystyle a, b$ ．() $\displaystyle f(x)=|x| \sin |x|$ | (B) $\displaystyle f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$ | (C) $\displaystyle f(x)=\cos |x|$ | (D) $\displaystyle f(x)=\cos \sqrt{|x|}$ |
| 16 | 解答题 | 设平面区域 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=\sqrt{3\left(1-x^{2}\right)}$ 与直线 $\displaystyle y=\sqrt{3} x$ 及 $\displaystyle y$ 轴围成。计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．() $\displaystyle f(x)=|x| \sin |x|$ | (B) $\displaystyle f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$ | (C) $\displaystyle f(x)=\cos |x|$ | (D) $\displaystyle f(x)=\cos \sqrt{|x|}$ |
| 17 | 解答题 | 将长为 2 m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形。三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。() $\displaystyle f(x)=|x| \sin |x|$ | (B) $\displaystyle f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$ | (C) $\displaystyle f(x)=\cos |x|$ | (D) $\displaystyle f(x)=\cos \sqrt{|x|}$ |
| 18 | 解答题 | 已知 $\displaystyle \cos 2 x-\frac{1}{(1+x)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}(-1\lt x\lt 1)$ ，求 $\displaystyle a_{n}$ ．() $\displaystyle f(x)=|x| \sin |x|$ | (B) $\displaystyle f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$ | (C) $\displaystyle f(x)=\cos |x|$ | (D) $\displaystyle f(x)=\cos \sqrt{|x|}$ |
| 19 | 解答题 | 设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle x_{1}\gt 0, x_{n} \mathrm{e}^{x_{n+1}}=\mathrm{e}^{x_{n}}-1(n=1,2, \cdots)$ 。证明 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．() $\displaystyle f(x)=|x| \sin |x|$ | (B) $\displaystyle f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$ | (C) $\displaystyle f(x)=\cos |x|$ | (D) $\displaystyle f(x)=\cos \sqrt{|x|}$ |
| 20 | 解答题 | 设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{1}+a x_{3}\right)^{2}$ ，其中 $\displaystyle a$ 是参数。（I）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解；（II）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 的规范形． |
| 21 | 解答题 | 已知 $\displaystyle a$ 是常数，且矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a\end{array}\right)$ 可经初等列变换化为矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ．（I）求 $\displaystyle a$ ；（II）求满足 $\displaystyle \mathbf{A P}=\mathbf{B}$ 的可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ． |
| 22 | 解答题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，$\displaystyle X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=1\}=P\{X=-1\}=\frac{1}{2}, Y$ 服从参数为 $\displaystyle \lambda$ 的泊松分布。令 $\displaystyle Z=X Y$ 。（I）求 $\displaystyle \operatorname{Cov}(X, Z)$ ；（II）求 $\displaystyle Z$ 的概率分布． |
| 23 | 解答题 | 设总体 $\displaystyle X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty\lt x\lt+\infty,$$
其中 $\displaystyle \sigma \in(0,+\infty)$ 为未知参数，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本。记 $\displaystyle \sigma$ 的最大似然估计量为 $\displaystyle \hat{\sigma}$ ．（I）求 $\displaystyle \hat{\sigma}$ ；（II）求 $\displaystyle E(\hat{\sigma}), D(\hat{\sigma})$ ． |