| 1 | 选择题 | 若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\mathrm{e}^{x}+a x^{2}+b x\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=1$ ，则 $\displaystyle ($A$\displaystyle a=\frac{1}{2}, b=-1$ ． B$\displaystyle a=-\frac{1}{2}, b=-1$ ． C$\displaystyle a=\frac{1}{2}, b=1$ 。 D$\displaystyle a=-\frac{1}{2}, b=1$ ． |
| 2 | 选择题 | 下列函数中，在 $\displaystyle x=0$ 处不可导的是A$\displaystyle f(x)=|x| \sin |x|$ ． B$\displaystyle f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$ ． C$\displaystyle f(x)=\cos |x|$ ． D$\displaystyle f(x)=\cos \sqrt{|x|}$ ． |
| 3 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-1, & x\lt 0, \\ 1, & x \geqslant 0,\end{array} g(x)=\left\{\begin{array}{ll}2-a x, & x \leqslant-1, \\ x, & -1\lt x\lt 0 \\ x-b, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.\right.$ ，若 $\displaystyle f(x)+g(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，则A$\displaystyle a=3, b=1$ ． B$\displaystyle a=3, b=2$ ． C$\displaystyle a=-3, b=1$ ． D$\displaystyle a=-3, b=2$ ． |
| 4 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则A当 $\displaystyle f^{\prime}(x)\lt 0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)\lt 0$ ． B当 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)\lt 0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)\lt 0$ ． C当 $\displaystyle f^{\prime}(x)\gt 0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)\lt 0$ ． D当 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)\lt 0$ ． |
| 5 | 选择题 | 设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$ ，则A$\displaystyle M\gt N\gt K$ ． B$\displaystyle M\gt K\gt N$ ． C$\displaystyle K\gt M\gt N$ ． D$\displaystyle K\gt N\gt M$ ． |
| 6 | 选择题 | $\displaystyle \int_{-1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{-x}^{2-x^{2}}(1-x y) \mathrm{d} y+\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x^{2}}(1-x y) \mathrm{d} y=$ ）A$\displaystyle \frac{5}{3}$ ． B$\displaystyle \frac{5}{6}$ ． C$\displaystyle \frac{7}{3}$ ． D$\displaystyle \frac{7}{6}$ ． |
| 7 | 选择题 | 下列矩阵中，与矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 相似的为A$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． B$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． C$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． D$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． |
| 8 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 为 $\displaystyle n$ 阶矩阵，记 $\displaystyle r(\mathbf{X})$ 为矩阵 $\displaystyle \mathbf{X}$ 的秩，（ $\displaystyle \mathbf{X}, \mathbf{Y}$ ）表示分块矩阵，则（ ）$\displaystyle (\mathrm{A}) r(\mathbf{A}, \mathbf{A B})=r(\mathbf{A})$ ．$\displaystyle (\mathrm{B}) r(\mathbf{A}, \mathbf{B} \mathbf{A})=r(\mathbf{A})$.$\displaystyle (\mathrm{C}) r(\mathbf{A}, \mathbf{B})=\max \{r(\mathbf{A}), r(\mathbf{B})\}$.A$\displaystyle r(\mathbf{A}, \mathbf{B})=r\left(\mathbf{A}^{\mathrm{T}}, \mathbf{B}^{\mathrm{T}}\right)$\ |
| 9 | 填空题 | $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}[\arctan (x+1)-\arctan x]=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 10 | 填空题 | 曲线 $\displaystyle y=x^{2}+2 \ln x$ 在其拐点处的切线方程是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 11 | 填空题 | $\displaystyle \int_{5}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}-4 x+3} \mathrm{~d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 12 | 填空题 | 曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\cos ^{3} t \\ y=\sin ^{3} t\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$ 对应点处的曲率为 $\displaystyle \_\_\_\_$ . |
| 13 | 填空题 | 设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle \ln z+\mathrm{e}^{z-1}=x y$ 确定，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(2, \frac{1}{2}\right)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 14 | 填空题 | 设 $\displaystyle A$ 为3阶矩阵，$\displaystyle \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为线性无关的向量组。若 $\displaystyle A\alpha_1=2\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$，$\displaystyle A\alpha_2=\alpha_2+2\alpha_3$，$\displaystyle A\alpha_3=-\alpha_2+\alpha_3$，则 $\displaystyle A$ 的实特征值为____。 |
| 15 | 解答题 | 求不定积分 $\displaystyle \int \mathrm{e}^{2 x} \arctan \sqrt{\mathrm{e}^{x}-1} \mathrm{~d} x$ ． |
| 16 | 解答题 | 已知连续函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t=a x^{2}$ ．（I）求 $\displaystyle f(x)$ ；（II）若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的平均值为 1 ，求 $\displaystyle a$ 的值． |
| 17 | 解答题 | 设平面区域 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=t-\sin t, \\ y=1-\cos t\end{array} \quad(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)\right.$ 与 $\displaystyle x$ 轴围成，计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D}(x+2 y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$. |
| 18 | 解答题 | 已知常数 $\displaystyle k \geqslant \ln 2-1$ ．证明：$\displaystyle (x-1)\left(x-\ln ^{2} x+2 k \ln x-1\right) \geqslant 0$ ． |
| 19 | 解答题 | 将长为 2 m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形．三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。 |
| 20 | 解答题 | 已知曲线 $\displaystyle L: y=\frac{4}{9} x^{2}(x \geqslant 0)$ ，点 $\displaystyle O(0,0)$ ，点 $\displaystyle A(0,1)$ 。设 $\displaystyle P$ 是 $\displaystyle L$ 上的动点，$\displaystyle S$ 是直线 $\displaystyle O A$ 与直线 $\displaystyle A P$ 及曲线 $\displaystyle L$ 所围图形的面积．若 $\displaystyle P$ 运动到点 $\displaystyle (3,4)$ 时沿 $\displaystyle x$ 轴正向的速度是 4 ，求此时 $\displaystyle S$ 关于时间 $\displaystyle t$ 的变化率． |
| 21 | 解答题 | 设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle x_{1}\gt 0, x_{n} \mathrm{e}^{x_{n+1}}=\mathrm{e}^{x_{n}}-1(n=1,2, \cdots)$ 。证明 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。 |
| 22 | 解答题 | 设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{1}+a x_{3}\right)^{2}$ ，其中 $\displaystyle a$ 是参数。（I）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解；（II）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 的规范形． |
| 23 | 解答题 | 已知 $\displaystyle a$ 是常数，且矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a\end{array}\right)$ 可经初等列变换化为矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ．（I）求 $\displaystyle a$ ；（II）求满足 $\displaystyle \mathbf{A P}=\mathbf{B}$ 的可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ． |