2019年 数学一 真题

共23题

← 返回矩阵
#题型题目
1选择题当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时，若 $\displaystyle x-\tan x$ 与 $\displaystyle x^{k}$ 是同阶无穷小，则 $\displaystyle k=$
A1 ．
B2．
C3 ．
D4．
2选择题设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x|x|, & x \leqslant 0, \\ x \ln x, & x\gt 0,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的
A可导点，极值点。
B不可导点，极值点。
C可导点，非极值点。
D不可导点，非极值点。
3选择题设 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是
A$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_{n}}{n}$ ．
B$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{u_{n}}$ ．
C$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{u_{n}}{u_{n+1}}\right)$ ．
D$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}^{2}-u_{n}^{2}\right)$ ．
4选择题设函数 $\displaystyle Q(x, y)=\frac{x}{y^{2}}$ ．如果对上半平面 $\displaystyle (y\gt 0)$ 内的任意有向光滑封闭曲线 $\displaystyle C$ 都有 $\displaystyle \oint_{C} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0$ ，那么函数 $\displaystyle P(x, y)$ 可取为
A$\displaystyle y-\frac{x^{2}}{y^{3}}$ ．
B$\displaystyle \frac{1}{y}-\frac{x^{2}}{y^{3}}$ ．
C$\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}$ ．
D$\displaystyle x-\frac{1}{y}$ ．
5选择题（8）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 3 阶实对称矩阵， $\displaystyle \mathbf{E}$ 是 3 阶单位矩阵．若 $\displaystyle \mathbf{A}^2+\mathbf{A}=2\mathbf{E}$ ，且 $\displaystyle |\mathbf{A}|=4$ ，则二次型 $\displaystyle \mathbf{x}^\mathrm{T}\mathbf{A}\mathbf{x}$ 的规范形为
A$\displaystyle y_1^2+y_2^2+y_3^2$ ．
B$\displaystyle y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ．
C$\displaystyle y_1^2-y_2^2-y_3^2$ ．
D$\displaystyle -y_1^2-y_2^2-y_3^2$ ．
6选择题如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 $$ a_{i 1} x+a_{i 2} y+a_{i 3} z=d_{i}(i=1,2,3)$$ 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{\overline { A }}$ ，则 $\displaystyle (\mathrm{A}) r(\mathbf{A})=2, r(\overline{\mathbf{A}})=3$ ．$\displaystyle (\mathrm{B}) r(\mathbf{A})=2, r(\overline{\mathbf{A}})=2$．$\displaystyle (\mathrm{C}) r(\mathbf{A})=1, r(\overline{\mathbf{A}})=2$ ．
A$\displaystyle r(\mathbf{A})=1, r(\overline{\mathbf{A}})=1$ ．
7选择题设 $\displaystyle A, B$ 为随机事件，则 $P
A(选项见图)
B(选项见图)
C(选项见图)
D(选项见图)
8选择题设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，且都服从正态分布 $\displaystyle N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，则 $\displaystyle P\{|X-Y|\lt 1\}$
A与 $\displaystyle \mu$ 无关，而与 $\displaystyle \sigma^{2}$ 有关。
B与 $\displaystyle \mu$ 有关，而与 $\displaystyle \sigma^{2}$ 无关。
C与 $\displaystyle \mu, \sigma^{2}$ 都有关．
D与 $\displaystyle \mu, \sigma^{2}$ 都
9填空题设函数 $\displaystyle f(u)$ 可导，$\displaystyle z=f(\sin y-\sin x)+x y$ ，则 $\displaystyle \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{\cos y} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
10填空题微分方程 $\displaystyle 2 y y^{\prime}-y^{2}-2=0$ 满足条件 $\displaystyle y(0)=1$ 的特解 $\displaystyle y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!} x^{n}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内的和函数 $\displaystyle S(x)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题设 $\displaystyle \Sigma$ 设为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=4(z \geqslant 0)$ 的上侧，则 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \sqrt{4-x^{2}-4 z^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
13填空题设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}\right)$ 为3阶矩阵。若 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$ 线性无关，且 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{3}=-\mathbf{\alpha}_{1}+2 \mathbf{\alpha}_{2}$ ，则线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题设随机变量 $\displaystyle X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}, 0\lt x\lt 2, \\ 0, \text { 其他，}\end{array}\right.$ $\displaystyle F(x)$ 为 $\displaystyle X$ 的分布函数，$\displaystyle E(X)$ 为 $\displaystyle X$ 的数学期望，则 $\displaystyle P\{F(X)\gt E(X)-1\}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$
15解答题设函数 $\displaystyle y(x)$ 是微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+x y=\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ 满足条件 $\displaystyle y(0)=0$ 的特解．（I）求 $\displaystyle y(x)$ ；（II）求曲线 $\displaystyle y=y(x)$ 的凹凸区间及拐点．
16解答题设 $\displaystyle a, b$ 为实数，函数 $\displaystyle z=2+a x^{2}+b y^{2}$ 在点 $\displaystyle (3,4)$ 处的方向导数中，沿方向 $\displaystyle \mathbf{l}=-3 \mathbf{i}-4 \mathbf{j}$ 的方向导数最大，最大值为 10 。（I）求 $\displaystyle a, b$ ；（II）求曲面 $\displaystyle z=2+a x^{2}+b y^{2}(z \geqslant 0)$ 的面积．
17解答题求曲线 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{-x} \sin x(x \geqslant 0)$ 与 $\displaystyle x$ 轴之间图形的面积．
18解答题设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x(n=0,1,2, \cdots)$ ．（I）证明数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，且 $\displaystyle a_{n}=\frac{n-1}{n+2} a_{n-2}(n=2,3, \cdots)$ ；（II）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{a_{n-1}}$ ．
19解答题设 $\displaystyle \Omega$ 是由锥面 $\displaystyle x^{2}+(y-z)^{2}=(1-z)^{2}(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 与平面 $\displaystyle z=0$ 围成的锥体，求 $\displaystyle \Omega$ 的形心坐标。
20解答题设向量组 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=(1,2,1)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\alpha}_{2}=(1,3,2)^{\mathrm{T}}, \mathbf{\alpha}_{3}=(1, a, 3)^{\mathrm{T}}$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 的一个基， $\displaystyle \mathbf{\beta}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$在这个基下的坐标为 $\displaystyle (b, c, 1)^{\mathrm{T}}$ ．（I）求 $\displaystyle a, b, c$ ；（II）证明 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\beta}$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 的一个基，并求 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\beta}$ 到 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 的过渡矩阵。
21解答题已知矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & -2 & 1 \\ 2 & x & -2 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & y\end{array}\right)$ 相似．（I）求 $\displaystyle x, y$ ；（II）求可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ 使得 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}=\mathbf{B}$ ．
22解答题设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，$\displaystyle X$ 服从参数为 1 的指数分布，$\displaystyle Y$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{Y=-1\}=p$ ， $\displaystyle P\{Y=1\}=1-p(0\lt p\lt 1)$ 。令 $\displaystyle Z=X Y$ 。（I）求 $\displaystyle Z$ 的概率密度；（II）$\displaystyle p$ 为何值时，$\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Z$ 不相关；（III）$\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Z$ 是否相互独立？
23解答题设总体 $\displaystyle X$ 的概率密度为$$ f\left(x ; \sigma^{2}\right)= \begin{cases}\frac{A}{\sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}, & x \geqslant \mu, \\ 0, & x\lt\mu,\end{cases}$$ 其中 $\displaystyle \mu$ 是已知参数，$\displaystyle \sigma\gt 0$ 是末知参数，$\displaystyle A$ 是常数．$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本。（I）求 $\displaystyle A$ ；（II）求 $\displaystyle \sigma^{2}$ 的最大似然估计量．