2019年 数学三 真题

共23题

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#题型题目
1选择题当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时，若 $\displaystyle x-\tan x$ 与 $\displaystyle x^{k}$ 是同阶无穷小，则 $\displaystyle k=()$
A1 ．
B2．
C3 。
D4．
2选择题已知方程 $\displaystyle x^{5}-5 x+k=0$ 有 3 个不同的实根，则 $\displaystyle k$ 的取值范围是（）
A$\displaystyle (-\infty,-4)$ ．
B$\displaystyle (4,+\infty)$ ．
C$\displaystyle \{-4,4\}$ ．
D$\displaystyle (-4,4)$ ．
3选择题已知微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c \mathrm{e}^{x}$ 的通解为 $\displaystyle y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{x}$ ，则 $\displaystyle a 、 b 、 c$ 依次为（）
A$\displaystyle 1,0,1$ ．
B$\displaystyle 1,0,2$ ．
C$\displaystyle 2,1,3$ ．
D2，1， 4 ．
4选择题若 $\displaystyle \sum_{n=1} n u_{n}$ 绝对收敛，$\displaystyle \sum_{n=1} \frac{v_{n}}{n}$ 条件收敛，则（ ）
A$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} v_{n}$ 条件收敛。
B$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} v_{n}$ 绝对收敛。
C$\displaystyle \sum\left(u_{n}+v_{n}\right)$ 收敛。
D$\displaystyle \sum\left(u_{n}+v_{n}\right)$ 发散。
5选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 4 阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 是 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的伴随矩阵，若线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系中只有 2 个向量，则 $\displaystyle r\left(\mathbf{A}^{*}\right)=(\quad)$
A0．
B1 ．
C2．
D3．
6选择题（8）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 3 阶实对称矩阵， $\displaystyle \mathbf{E}$ 是 3 阶单位矩阵．若 $\displaystyle \mathbf{A}^2+\mathbf{A}=2\mathbf{E}$ ，且 $\displaystyle |\mathbf{A}|=4$ ，则二次型 $\displaystyle \mathbf{x}^\mathrm{T}\mathbf{A}\mathbf{x}$ 的规范形为
A$\displaystyle y_1^2+y_2^2+y_3^2$ ．
B$\displaystyle y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ．
C$\displaystyle y_1^2-y_2^2-y_3^2$ ．
D$\displaystyle -y_1^2-y_2^2-y_3^2$ ．
7选择题设 $\displaystyle A, B$ 为随机事件，则 $P
A(选项见图)
B(选项见图)
C(选项见图)
D(选项见图)
8选择题设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，且都服从正态分布 $\displaystyle N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，则 $\displaystyle P\{|X-Y|\lt 1\}$（）
A与 $\displaystyle \mu$ 无关，而与 $\displaystyle \sigma^{2}$ 有关。
B与 $\displaystyle \mu$ 有关，而与 $\displaystyle \sigma^{2}$ 无关。
C与 $\displaystyle \mu, \sigma^{2}$ 都有关。
D与 $\displaystyle \mu, \sigma^{2}$ 都
9填空题$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[1 \frac{1}{2}+2 \frac{1}{2}+\cdots+{ }_{n(n+1)}^{1}\right]^{n}=$
10填空题曲线 $\displaystyle y=x \sin x+2 \cos x\left(-\frac{\pi}{2}\lt x\lt\frac{3 \pi}{2}\right)$ 的拐点坐标为
11填空题已知函数 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \sqrt{1+t^{4}} \mathrm{~d} t$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=$
12填空题以 $\displaystyle P_{\mathrm{A}} 、 P_{\mathrm{B}}$ 分别表示 $\displaystyle \mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两个商品的价格，设商品 A 的需求函数 $\displaystyle Q_{\mathrm{A}}=500-P_{\mathrm{A}}^{2}-P_{\mathrm{A}} P_{\mathrm{B}}+2 P_{\mathrm{B}}^{2}$ ，则当 $\displaystyle P_{\mathrm{A}}=10, P_{\mathrm{B}}=20$ 时，商品 A 的需求量对自身价格的弹性 $\displaystyle \eta_{\mathrm{AA}}\left(\eta_{\mathrm{AA}}\gt 0\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题已知矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & a^{2}-1\end{array}\right), \mathbf{b}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ a\end{array}\right)$ ，若线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有无穷多解，则 $\displaystyle \mathbf{a}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题设随机变量 $\displaystyle X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x}{2}, & 0\lt x\lt 2, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 为 $\displaystyle X$ 的分布函数，$\displaystyle E(X)$ 为 $\displaystyle X$ 的数学期望，则 $\displaystyle P\{F(X)\gt E(X)-1\}=$
15解答题已知函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2 x}, & x\gt 0, \\ x \mathrm{e}^{x}+1, & x \leqslant 0 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，并求 $\displaystyle f(x)$ 的极值．
16解答题设函数 $\displaystyle f(u, v)$ 具有 2 阶连续偏导数，函数 $\displaystyle g(x, y)=x y-f(x+y, x-y)$ ．求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+ \frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$.
17解答题设函数 $\displaystyle y(x)$ 是微分方程 $\displaystyle y^{\prime}-x y=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{2}}$ 满足条件 $\displaystyle y(1)=\sqrt{\mathrm{e}}$ 的特解．（I）求 $\displaystyle y(x)$ ；（II）设平面区域 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant y(x)\}$ ，求 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转所得旋转体的体积。
18解答题求曲线 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{-x} \sin x(x \geqslant 0)$ 与 $\displaystyle x$ 轴之间图形的面积．
19解答题设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x(n=0,1,2, \cdots)$ ．（I）证明数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，且 $\displaystyle a_{n}=\begin{gathered}n-1 \\ n+2\end{gathered} a_{n-2}(n=2,3, \cdots)$ ；（II）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{a_{n-1}}$ ．
20解答题（本题满分 11 分） 已知向量组 I： $\displaystyle \mathbf{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 4\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_2\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 4\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_3\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ a^2+3\end{array}\right)$ 与 II： $\displaystyle \mathbf{\beta}_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ a+3\end{array}\right), \mathbf{\beta}_2=\left(\begin{array}{c}0 \\ 2 \\ 1-a\end{array}\right)$ ， $\displaystyle \mathbf{\beta}_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ a^2+3\end{array}\right)$ ．若向量组 I 与 II 等价，求 $\displaystyle a$ 的取值，并将 $\displaystyle \mathbf{\beta}_3$ 用 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_1, \mathbf{\alpha}_2, \mathbf{\alpha}_3$ 线性表示．
21解答题已知矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & -2 & 1 \\ 2 & x & -2 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & y\end{array}\right)$ 相似．（I）求 $\displaystyle x, y$ ；（II）求可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}=\mathbf{B}$ ．
22解答题设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，$\displaystyle X$ 服从参数为 1 的指数分布，$\displaystyle Y$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{Y=-1\}=p$ ， $\displaystyle P\{Y=1\}=1-p(0\lt p\lt 1)$ 。令 $\displaystyle Z=X Y$ 。（I）求 $\displaystyle Z$ 的概率密度；（II）$\displaystyle p$ 为何值时，$\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Z$ 不相关；（III）$\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Z$ 是否相互独立？
23解答题设总体 $\displaystyle X$ 的概率密度为$$ f\left(x ; \sigma^{2}\right)= \begin{cases}\frac{A}{\sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}, & x \geqslant \mu, \\ 0, & x\lt\mu,\end{cases}$$ 其中 $\displaystyle \mu$ 是已知参数，$\displaystyle \sigma\gt 0$ 是未知参数，$\displaystyle A$ 是常数．$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本。（I）求 $\displaystyle A$ ；（II）求 $\displaystyle \sigma^{2}$ 的最大似然估计量．