2019年 数学二 真题

共23题

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#题型题目
1选择题当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时，若 $\displaystyle x-\tan x$ 与 $\displaystyle x^{k}$ 是同阶无穷小，则 $\displaystyle k=()$
A1 ．
B2 ．
C3 ．
D4．
2选择题曲线 $\displaystyle y=x \sin x+2 \cos x\left(-\frac{\pi}{2}\lt x\lt 2 \pi\right)$ 的拐点坐标为（ ）
A（0，2）．
B$\displaystyle (\pi,-2)$ ．
C$\displaystyle \left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
D$\displaystyle \left(\frac{3 \pi}{2},-\frac{3 \pi}{2}\right)$ ．
3选择题下列反常积分发散的是（ ）
A$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ．
B$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
C$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
D$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
4选择题已知微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c \mathrm{e}^{x}$ 的通解为 $\displaystyle y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{x}$ ，则 $\displaystyle a 、 b 、 c$ 依次为（）
A$\displaystyle 1,0,1$ ．
B$\displaystyle 1,0,2$ ．
C2，1， 3 ．
D$\displaystyle 2,1,4$ ．
5选择题已知平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y)| | x\left|+|y| \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}, I_{1}=\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{2}=\right. \iint_{D} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D}\left(1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，则 $\displaystyle (\quad)$
A$\displaystyle I_{3}\lt I_{2}\lt I_{1}$ ．
B$\displaystyle I_{2}\lt I_{1}\lt I_{3}$ ．
C$\displaystyle I_{1}\lt I_{2}\lt I_{3}$ ．
D$\displaystyle I_{2}\lt I_{3}\lt I_{1}$ ．
6选择题已知 $\displaystyle f(x), g(x) 2$ 阶可导且 2 阶导函数在 $\displaystyle x=a$ 处连续，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^{2}}=0$ 是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 和 $\displaystyle y=g(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 对应的点处相切且曲率相等的（ ）
A充分非必要条件。
B充分必要条件。
C必要非充分条件。
D既非充分又非必要条件．
7选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 4 阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 是 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的伴随矩阵，若线性方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系中只有 2 个向量，则 $\displaystyle r\left(\mathbf{A}^{*}\right)=(\quad)$
A0 ．
B1．
C2．
D3．
8选择题（8）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 3 阶实对称矩阵， $\displaystyle \mathbf{E}$ 是 3 阶单位矩阵．若 $\displaystyle \mathbf{A}^2+\mathbf{A}=2\mathbf{E}$ ，且 $\displaystyle |\mathbf{A}|=4$ ，则二次型 $\displaystyle \mathbf{x}^\mathrm{T}\mathbf{A}\mathbf{x}$ 的规范形为
A$\displaystyle y_1^2+y_2^2+y_3^2$ ．
B$\displaystyle y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ．
C$\displaystyle y_1^2-y_2^2-y_3^2$ ．
D$\displaystyle -y_1^2-y_2^2-y_3^2$ ．
9填空题$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(x+2^{x}\right)^{\frac{2}{x}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
10填空题曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=t-\sin t \\ y=1-\cos t\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle t=\frac{3 \pi}{2}$ 对应点处的切线在 $\displaystyle y$ 轴上的截距为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题设函数 $\displaystyle f(u)$ 可导，$\displaystyle z=y f\left(\frac{y^{2}}{x}\right)$ ，则 $\displaystyle 2 x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题曲线 $\displaystyle y=\ln \cos x\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{6}\right)$ 的弧长为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题已知函数 $\displaystyle f(x)=x \int_{1}^{x} \frac{\sin t^{2}}{t} \mathrm{~d} t$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题已知矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & -2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 4\end{array}\right), A_{i j}$ 表示 $\displaystyle |\mathbf{A}|$ 中 $\displaystyle (i, j)$ 元的代数余子式，则 $\displaystyle A_{11}-A_{12}=$
15解答题已知函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2 x}, & x\gt 0, \\ x \mathrm{e}^{x}+1, & x \leqslant 0 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，并求 $\displaystyle f(x)$ 的极值．
16解答题求不定积分 $\displaystyle \int \frac{3 x+6}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+x+1\right)} \mathrm{d} x$ ．
17解答题设函数 $\displaystyle y(x)$ 是微分方程 $\displaystyle y^{\prime}-x y=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{2}}$ 满足条件 $\displaystyle y(1)=\sqrt{\mathrm{e}}$ 的特解．（I）求 $\displaystyle y(x)$ ；（ II ）设平面区域 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant y(x)\}$ ，求 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转所得旋转体的体积。
18解答题已知平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y)| | x \mid \leqslant y,\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \leqslant y^{4}\right\}$ ，计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} \frac{x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
19解答题设 $\displaystyle n$ 为正整数，记 $\displaystyle S_{n}$ 为曲线 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{-x} \sin x(0 \leqslant x \leqslant n \pi)$ 与 $\displaystyle x$ 轴所围图形的面积，求 $\displaystyle S_{n}$ ，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}$ ．
20解答题已知函数 $\displaystyle u(x, y)$ 满足 $\displaystyle 2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-2 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+3 \frac{\partial u}{\partial x}+3 \frac{\partial u}{\partial y}=0$ ，求 $\displaystyle a, b$ 的值，使得在变换 $\displaystyle u(x, y)= v(x, y) \mathrm{e}^{a x+b y}$ 下，上述等式可化为 $\displaystyle v(x, y)$ 不含一阶偏导数的等式。
21解答题已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有 2 阶导数，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1, \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=1$ ，证明：（ I ）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ；（II）存在 $\displaystyle \eta \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\eta)\lt-2$ 。
22解答题已知向量组 I ： $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 4\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 4\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ a^{2}+3\end{array}\right)$ 与 II ： $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ a+3\end{array}\right), \mathbf{\beta}_{2}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 2 \\ 1-a\end{array}\right)$ ，$\displaystyle \mathbf{\beta}_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ a^{2}+3\end{array}\right)$ ．若向量组 I 与 II 等价，求 $\displaystyle a$ 的取值，并将 $\displaystyle \mathbf{\beta}_{3}$ 用 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性表示．
23解答题已知矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & -2 & 1 \\ 2 & x & -2 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)$ 与 $\displaystyle \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & y\end{array}\right)$ 相似。（I）求 $\displaystyle x, y$ ；（II）求可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}=\mathbf{B}$ ．