2020年 数学一 真题

共23题

← 返回矩阵
#题型题目
1选择题当 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时，下列无穷小量中最高阶的是（ ）。
A$\displaystyle \int_{0}^{x}\left(\mathrm{e}^{t^{2}}-1\right) \mathrm{d} t$
B$\displaystyle \int_{0}^{x} \ln \left(1+\sqrt{t^{3}}\right) \mathrm{d} t$
C$\displaystyle \int_{0}^{\sin x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$
D$\displaystyle \int_{0}^{1-\cos x} \sqrt{\sin ^{3} t} \mathrm{~d} t$
2选择题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内有定义，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ，则（ ）．
A当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导
B当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=0$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导
C当 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$
D当 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=0$
3选择题设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微，$\displaystyle f(0,0)=0, \mathbf{n}=\left.\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y},-1\right)\right|_{(0,0)}$ ，非零向量 $\displaystyle \mathbf{\alpha}$ 与 $\displaystyle \mathbf{n}$垂直，则（ ）。
A$\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\mathbf{n} \cdot(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ 存在
B$\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\mathbf{n} \times(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ 存在
C$\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\mathbf{\alpha} \cdot(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ 存在
D$\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\mathbf{\alpha} \times(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ 存在
4选择题设 $\displaystyle R$ 为幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径，$\displaystyle r$ 是实数，则 () ．
A当 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散时，$\displaystyle |r| \geqslant R$
B当 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 收敛时，$\displaystyle |r| \leqslant R$
C当 $\displaystyle |r| \geqslant R$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a{ }_{2 n} r^{2 n}$ 发散
D当 $\displaystyle |r| \leqslant R$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 收敛
5选择题若矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 经过初等列变换化成 $\displaystyle \mathbf{B}$ ，则（ ）。
A存在矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{P} \mathbf{A}=\mathbf{B}$
B存在矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{B P}=\mathbf{A}$
C存在矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{P B}=\mathbf{A}$
D方程组 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ 与 $\displaystyle \mathbf{B} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ 同解
6选择题已知直线 $\displaystyle L_{1}: \frac{x-a_{2}}{a_{1}}=\frac{y-b_{2}}{b_{1}}=\frac{z-c_{2}}{c_{1}}$ 与直线 $\displaystyle L_{2}: \frac{x-a_{3}}{a_{2}}=\frac{y-b_{3}}{b_{2}}=\frac{z-c_{3}}{c_{2}}$ 相交于一点，记向量 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{i}=\left(\begin{array}{l}a_{i} \\ b_{i} \\ c_{i}\end{array}\right), i=1,2,3$ ，则 $\displaystyle \quad$ ）
A$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}$ 可由 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性表示
B$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{2}$ 可由 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性表示
C$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{3}$ 可由 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$ 线性表示
D$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 线性无关
7选择题设 $\displaystyle A, B, C$ 为三个随机事件，且 $P
A$\displaystyle \frac{3}{4}$
B$\displaystyle \frac{2}{3}$
C$\displaystyle \frac{1}{2}$
D$\displaystyle \frac{5}{12}$
8选择题设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{100}$ 为来自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本，其中 $\displaystyle P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac{1}{2}, \Phi(x)$表示标准正态分布函数，利用中心极限定理可得 $\displaystyle P\left\{\sum_{i=1}^{100} X_{i} \leqslant 55\right\}$ 的近似值为（）。
A$\displaystyle 1-\Phi(1)$
B$\displaystyle \Phi(1)$
C$\displaystyle 1-\Phi(0.2)$
D$\displaystyle \Phi(0.2)$
9填空题$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}-\frac{1}{\ln (1+x)}\right]=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
10填空题设 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t^{2}+1}, \\ y=\ln \left(t+\sqrt{t^{2}+1}\right),\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)+a f^{\prime}(x)+f(x)=0(a\gt 0)$ ，且 $\displaystyle f(0)=m, f^{\prime}(0)=n$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题12 ）设函数 $\displaystyle f(x, y)=\int_{0}^{x y} \mathrm{e}^{x t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}a & 0 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ -1 & 1 & a & 0 \\ 1 & -1 & 0 & a\end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题设 $\displaystyle X$ 服从区间 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的均匀分布，$\displaystyle Y=\sin X$ ，则 $\displaystyle \operatorname{Cov}(X, Y)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$
15解答题（本题满分 10 分） 求函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{3}+8 y^{3}-x y$ 的极值．
16解答题计算曲线积分 $\displaystyle I=\int_{L} \frac{4 x-y}{4 x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{4 x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2$ ，方向为逆时针方向．
17解答题设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle a_{1}=1,(n+1) a_{n+1}=\left(n+\frac{1}{2}\right) a_{n}$ ，证明：当 $\displaystyle |x|\lt 1$ 时，幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$收敛，并求其和函数．
18解答题根据题目开头信息，补全后的完整题目如下（2020年考研数学一第18题）： --- **18.** 设 $\displaystyle \Sigma$ 为曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\left(1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right)$ 的下侧，$\displaystyle f(x)$ 是连续函数，计算 \[ I=\iint_{\Sigma}[x f(x y)+2 x-y] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+[y f(x y)+2 y+x] \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+[z f(x y)+z] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . \]
19解答题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,2]$ 上具有连续导数，$\displaystyle f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\}$ ，证明：（I）存在 $\displaystyle \xi \in(0,2)$ ，使得 $\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right| \geqslant M$ ；（II）若对任意的 $\displaystyle x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ，则 $\displaystyle M=0$ ．
20解答题设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{2}^{2}$ 经正交变换 $\displaystyle \binom{x_{1}}{x_{2}}=Q\binom{y_{1}}{y_{2}}$ 化为二次型 $\displaystyle g\left(y_{1}, y_{2}\right)=a y_{1}^{2}+4 y_{1} y_{2}+b y_{2}^{2}$ ，其中 $\displaystyle a \geqslant b$ ．（I）求 $\displaystyle a, b$ 的值；（II）求正交矩阵 $\displaystyle Q$ 。
21解答题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 2 阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{P}=(\mathbf{\alpha}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha})$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{\alpha}$ 是非零向量且不是 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征向量。（I）证明 $\displaystyle \mathbf{P}$ 为可逆矩阵；（II）若 $\displaystyle \mathbf{A}^{2} \mathbf{\alpha}+\mathbf{A} \mathbf{\alpha}-6 \mathbf{\alpha}=\mathbf{0}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}$ ，并判断 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是否相似于对角矩阵。
22解答题设随机变量 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 相互独立，其中 $\displaystyle X_{1}$ 与 $\displaystyle X_{2}$ 均服从标准正态分布，$\displaystyle X_{3}$ 的概率分布为 $\displaystyle P\left\{X_{3}=0\right\}=P\left\{X_{3}=1\right\}=\frac{1}{2} . Y=X_{3} X_{1}+\left(1-X_{3}\right) X_{2}$ 。（I）求二维随机变量 $\displaystyle \left(X_{1}, Y\right)$ 的分布函数，结果用标准正态分布函数 $\displaystyle \Phi(x)$ 表示；（II）证明随机变量 $\displaystyle Y$ 服从标准正态分布。
23解答题设某元件的使用寿命 $\displaystyle T$ 的分布函数为$$ F(t)= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-\left(\frac{t}{\theta}\right)^{m}}, & t \geqslant 0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$$ 其中 $\displaystyle \theta, m$ 为参数且大于零。（I）求概率 $\displaystyle P\{T\gt t\}$ 与 $\displaystyle P\{T\gt s+t \mid T\gt s\}$ ，其中 $\displaystyle s\gt 0, t\gt 0$ ；（II）任取 $\displaystyle n$ 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 $\displaystyle t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{n}$ ，若 $\displaystyle m$ 已知，求 $\displaystyle \theta$的最大似然估计值 $\displaystyle \hat{\theta}$ ．