2020年 数学三 真题

共23题

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#题型题目
1选择题设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-a}{x-a}=b$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin f(x)-\sin a}{x-a}=$（ ）。
A$\displaystyle b \sin a$
B$\displaystyle b \cos a$
C$\displaystyle b \sin f(a)$
D$\displaystyle b \cos f(a)$
2选择题函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)(x-2)}$ 的第二类间断点的个数为（ ）。
A1
B2
C3
D4
3选择题设奇函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上具有连续导数，则（ ）。
A$\displaystyle \int_{0}^{x}\left[\cos f(t)+f^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t$ 是奇函数
B$\displaystyle \int_{0}^{x}\left[\cos f(t)+f^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t$ 是偶函数
C$\displaystyle \int_{0}^{x}\left[\cos f^{\prime}(t)+f(t)\right] \mathrm{d} t$ 是奇函数
D$\displaystyle \int_{0}^{x}\left[\cos f^{\prime}(t)+f(t)\right] \mathrm{d} t$ 是偶函数
4选择题设幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}(x-2)^{n}$ 的收敛区间为 $\displaystyle (-2,6)$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x+1)^{2 n}$ 的收敛区间为（）
A$\displaystyle (-2,6)$
B$\displaystyle (-3,1)$
C$\displaystyle (-5,3)$
D$\displaystyle (-17,15)$
5选择题设4阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(a_{i j}\right)$ 不可逆，$\displaystyle a_{12}$ 的代数余子式 $\displaystyle A_{12} \neq 0, \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}$ 为矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的列向量组， $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的伴随矩阵，则方程组 $\displaystyle \mathbf{A}^{*} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ 的通解为（ ）。
A$\displaystyle \mathbf{X}=k_{1} \mathbf{\alpha}_{1}+k_{2} \mathbf{\alpha}_{2}+k_{3} \mathbf{\alpha}_{3}$ ，其中 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
B$\displaystyle \mathbf{X}=k_{1} \mathbf{\alpha}_{1}+k_{2} \mathbf{\alpha}_{2}+k_{3} \mathbf{\alpha}_{4}$ ，其中 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
C$\displaystyle \mathbf{X}=k_{1} \mathbf{\alpha}_{1}+k_{2} \mathbf{\alpha}_{3}+k_{3} \mathbf{\alpha}_{4}$ ，其中 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
D$\displaystyle \mathbf{X}=k_{1} \mathbf{\alpha}_{2}+k_{2} \mathbf{\alpha}_{3}+k_{3} \mathbf{\alpha}_{4}$ ，其中 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
6选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量， $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{3}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的属于特征值 -1 的特征向量，则满足 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 的可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ 为（ ）。
A$\displaystyle \left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{2},-\mathbf{\alpha}_{3}\right)$
B$\displaystyle \left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2},-\mathbf{\alpha}_{3}\right)$
C$\displaystyle \left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{3},-\mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{2}\right)$
D$\displaystyle \left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2},-\mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{2}\right)$
7选择题设 $\displaystyle A, B, C$ 为三个随机事件，且 $$ P
A$\displaystyle \frac{3}{4}$
B$\displaystyle \frac{2}{3}$
C$\displaystyle \frac{1}{2}$
D$\displaystyle \frac{5}{12}$
8选择题设随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 服从二维正态分布 $\displaystyle N\left(0,0 ; 1,4 ;-\frac{1}{2}\right)$ ，则下列随机变量中服从标准正态分布且与 $\displaystyle X$ 相互独立的是（ ）．
A$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}(X+Y)$
B$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}(X-Y)$
C$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}(X+Y)$
D$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}(X-$
9填空题设 $\displaystyle z=\arctan [x y+\sin (x+y)]$ ，则 $\displaystyle \left.\mathrm{d} z\right|_{(0, \pi)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
10填空题曲线 $\displaystyle x+y+\mathrm{e}^{2 x y}=0$ 在点 $\displaystyle (0,-1)$ 处的切线方程为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题设某厂家生产某产品的产量为 $\displaystyle Q$ ，成本 $\displaystyle C(Q)=100+13 Q$ ，该产品的单价为 $\displaystyle p$ ，需求量 $\displaystyle Q(p)=\frac{800}{p+3}-2$ ，则该厂家获得最大利润时的产量为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题设平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x}{2} \leqslant y \leqslant \frac{1}{1+x^{2}}\right., 0 \leqslant x \leqslant 1\right\}$ ，则 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle y$ 轴旋转所成的旋转体的体积为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}a & 0 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ -1 & 1 & a & 0 \\ 1 & -1 & 0 & a\end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题设随机变量 $\displaystyle X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=k\}=\frac{1}{2^{k}}(k=1,2,3, \cdots), Y$ 表示 $\displaystyle X$ 被 3 除的余数，则 $\displaystyle E(Y)=$ $\displaystyle \_\_\_\$
15解答题已知 $\displaystyle a, b$ 为常数，若 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}$ 与 $\displaystyle \frac{b}{n^{a}}$ 在 $\displaystyle n \rightarrow \infty$ 时是等价无穷小，求 $\displaystyle a, b$ ．
16解答题（本题满分 10 分） 求函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{3}+8 y^{3}-x y$ 的极值．
17解答题设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 满足 $\displaystyle y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0$ ，且 $\displaystyle f(0)=1, f^{\prime}(0)=-1$ ．（I）求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式；（II）设 $\displaystyle a_{n}=\int_{n \pi}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 。
18解答题设 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, y \geqslant 0\right\}$ ，连续函数 $\displaystyle f(x, y)$ 满足 $\displaystyle f(x, y)=y \sqrt{1-x^{2}}+ x \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle \iint_{D} x f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
19解答题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,2]$ 上具有连续导数，$\displaystyle f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\}$ ，证明：（ I ）存在 $\displaystyle \xi \in(0,2)$ ，使得 $\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right| \geqslant M$ ；（II）若对任意的 $\displaystyle x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ，则 $\displaystyle M=0$ ．
20解答题设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{2}^{2}$ 经正交变换 $\displaystyle \binom{x_{1}}{x_{2}}=\mathbf{Q}\binom{y_{1}}{y_{2}}$ 化为二次型 $\displaystyle g\left(y_{1}, y_{2}\right)=a y_{1}^{2}+4 y_{1} y_{2}+b y_{2}^{2}$ ，其中 $\displaystyle a \geqslant b$ ．（I）求 $\displaystyle a, b$ 的值；（II）求正交矩阵 $\displaystyle Q$ ．
21解答题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 2 阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{P}=(\mathbf{\alpha}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha})$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{\alpha}$ 是非零向量且不是 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征向量．（I）证明： $\displaystyle \mathbf{P}$ 为可逆矩阵；（II）若 $\displaystyle \mathbf{A}^{2} \mathbf{\alpha}+\mathbf{A} \mathbf{\alpha}-6 \mathbf{\alpha}=\mathbf{0}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}$ ，并判断 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是否相似于对角矩阵．
22解答题设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 在区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 0\lt y\lt\sqrt{1-x^{2}}\right\}$ 上服从均匀分布，令$$ Z_{1}=\left\{\begin{array}{ll} 1, & X-Y\gt 0, \\ 0, & X-Y \leqslant 0, \end{array} \quad Z_{2}= \begin{cases}1, & X+Y\gt 0 \\ 0, & X+Y \leqslant 0\end{cases}\right.$$ （I）求二维随机变量 $\displaystyle \left(Z_{1}, Z_{2}\right)$ 的概率分布；（II）求 $\displaystyle Z_{1}$ 与 $\displaystyle Z_{2}$ 的相关系数。
23解答题设某元件的使用寿命 $\displaystyle T$ 的分布函数为$$ F(t)= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-\left(\frac{t}{\theta}\right)^{m}}, & t \geqslant 0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$$ 其中 $\displaystyle \theta, m$ 为参数且大于零。（I）求概率 $\displaystyle P\{T\gt t\}$ 与 $\displaystyle P\{T\gt s+t \mid T\gt s\}$ ，其中 $\displaystyle s\gt 0, t\gt 0$ ；（II）任取 $\displaystyle n$ 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 $\displaystyle t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{n}$ ，若 $\displaystyle m$ 已知，求 $\displaystyle \theta$的最大似然估计值 $\displaystyle \hat{\theta}$ ．