2020年 数学二 真题

共23题

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#题型题目
1选择题当 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时，下列无穷小量中最高阶的是 ）．
A$\displaystyle \int_{0}^{x}\left(\mathrm{e}^{t^{2}}-1\right) \mathrm{d} t$
B$\displaystyle \int_{0}^{x} \ln \left(1+\sqrt{t^{3}}\right) \mathrm{d} t$
C$\displaystyle \int_{0}^{\sin x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$
D$\displaystyle \int_{0}^{1-\cos x} \sqrt{\sin ^{3} t} \mathrm{~d} t$
2选择题$\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)(x-2)}$ 的第二类间断点的个数为 ．
A1
B2
C3
D4
3选择题$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=$ ．
A$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{4}$
B$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{8}$
C$\displaystyle \frac{\pi}{4}$
D$\displaystyle \frac{\pi}{8}$
4选择题设 $\displaystyle f(x)=x^{2} \ln (1-x)$ ，当 $\displaystyle n \geqslant 3$ 时，$\displaystyle f^{(n)}(0)=($ ．
A$\displaystyle -\frac{n!}{n-2}$
B$\displaystyle \frac{n!}{n-2}$
C$\displaystyle -\frac{(n-2)!}{n}$
D$\displaystyle \frac{(n-2)!}{n}$
5选择题关于函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x y, & x y \neq 0, \\ x, & y=0, \\ y, & x=0,\end{array}\right.$ 给出如下结论（1）$\displaystyle \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,0)}=1$ ；（2）$\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}\right|_{(0,0)}=1$ ；（3） $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0$ ；（4） $\displaystyle \operatorname{limlim}_{y \rightarrow 0} f(x, y)=0$ ． 其中正确的个数是 ．
A4
B3
C2
D1
6选择题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-2,2]$ 上可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)\gt f(x)\gt 0$ ，则（ ）．
A$\displaystyle \frac{f(-2)}{f(-1)}\gt 1$
B$\displaystyle \frac{f(0)}{f(-1)}\gt\mathrm{e}$
C$\displaystyle \frac{f(1)}{f(-1)}\lt\mathrm{e}^{2}$
D$\displaystyle \frac{f(2)}{f(-1)}\lt\mathrm{e}^{3}$
7选择题设4阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(a_{i j}\right)_{4 \times 4}$ 不可逆，$\displaystyle a_{12}$ 的代数余子式 $\displaystyle A_{12} \neq 0, \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}$ 为矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的列向量组， $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的伴随矩阵，则方程组 $\displaystyle \mathbf{A}^{*} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ 的通解为（ ）。
A$\displaystyle \mathbf{X}=k_{1} \mathbf{\alpha}_{1}+k_{2} \mathbf{\alpha}_{2}+k_{3} \mathbf{\alpha}_{3}$ ，其中 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
B$\displaystyle \mathbf{X}=k_{1} \mathbf{\alpha}_{1}+k_{2} \mathbf{\alpha}_{2}+k_{3} \mathbf{\alpha}_{4}$ ，其中 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
C$\displaystyle \mathbf{X}=k_{1} \mathbf{\alpha}_{1}+k_{2} \mathbf{\alpha}_{3}+k_{3} \mathbf{\alpha}_{4}$ ，其中 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
D$\displaystyle \mathbf{X}=k_{1} \mathbf{\alpha}_{2}+k_{2} \mathbf{\alpha}_{3}+k_{3} \mathbf{\alpha}_{4}$ ，其中 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
8选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量， $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{3}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的属于特征值 -1 的特征向量，则使得 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 的可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ 为（ ）。
A$\displaystyle \left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{2},-\mathbf{\alpha}_{3}\right)$
B$\displaystyle \left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{2},-\mathbf{\alpha}_{3}\right)$
C$\displaystyle \left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{3},-\mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{2}\right)$
D$\displaystyle \left(\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2},-\mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{2}\right)$\right)
9填空题设 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t^{2}+1}, \\ y=\ln \left(t+\sqrt{t^{2}+1}\right)\end{array}\right.$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
10填空题$\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{x^{3}+1} \mathrm{~d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
11填空题设 $\displaystyle z=\arctan [x y+\sin (x+y)]$ ，则 $\displaystyle \left.\mathrm{d} z\right|_{(0, \pi)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
12填空题斜边长为 $\displaystyle 2 a$ 的等腰直角三角形平板铅直地沉人水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为 $\displaystyle g$ ，水密度为 $\displaystyle \rho$ ，则该平板一侧所受的水压力为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
13填空题设 $\displaystyle y=y(x)$ 满足 $\displaystyle y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0$ ，且 $\displaystyle y(0)=0, y^{\prime}(0)=1$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}a & 0 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ -1 & 1 & a & 0 \\ 1 & -1 & 0 & a\end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$
15解答题（本题满分 10 分） 求曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{1+x}}{(1+x)^{x}}(x\gt 0)$ 的斜渐近线方程．
16解答题已知函数 $\displaystyle f(x)$ 连续且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1, g(x)=\int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ ，并证明 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=0$处连续．
17解答题（本题满分 10 分） 求函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{3}+8 y^{3}-x y$ 的极值．
18解答题设函数 $\displaystyle f(x)$ 的定义域为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 且满足 $\displaystyle 2 f(x)+x^{2} f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x^{2}+2 x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ，并求曲线 $\displaystyle y=f(x), y=\frac{1}{2}, y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 及 $\displaystyle y$ 轴所围图形绕 $\displaystyle x$ 轴旋转所成旋转体的体积．
19解答题平面区域 $\displaystyle D$ 由直线 $\displaystyle x=1, x=2, y=x$ 与 $\displaystyle x$ 轴围成，计算 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
20解答题设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t$ ．（ I ）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(1,2)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=(2-\xi) \mathrm{e}^{\xi^{2}}$ ；（II）证明：存在 $\displaystyle \eta \in(1,2)$ ，使得 $\displaystyle f(2)=\ln 2 \cdot \eta \mathrm{e}^{\eta^{2}}$ ．
21解答题设曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)\gt 0$ ，曲线 $\displaystyle y=f(x)(x \geqslant 0)$ 经过坐标原点 $\displaystyle O$ ，其上任意一点 $\displaystyle M$ 处的切线与 $\displaystyle x$ 轴交于 $\displaystyle T$ ，又 $\displaystyle M P$ 垂直 $\displaystyle x$ 轴于点 $\displaystyle P$ ，已知由曲线 $\displaystyle y=f(x)$ ，直线 $\displaystyle M P$以及 $\displaystyle x$ 轴所围图形的面积与 $\displaystyle \triangle M T P$ 的面积之比恒为 $\displaystyle 3: 2$ ，求满足上述条件的曲线方程．
22解答题设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 a x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 经可逆线性变换 $\displaystyle x=P y$ 化为二次型 $\displaystyle g\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+4 y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{2}$ 。（I）求 $\displaystyle a$ 的值；（II）求可逆矩阵 $\displaystyle P$ 。
23解答题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 2 阶矩阵， $\displaystyle \mathbf{P}=(\mathbf{\alpha}, \mathbf{A} \mathbf{\alpha})$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{\alpha}$ 是非零向量且不是 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征向量．（I）证明： $\displaystyle \mathbf{P}$ 为可逆矩阵；（II）若 $\displaystyle \mathbf{A}^{2} \mathbf{\alpha}+\mathbf{A} \mathbf{\alpha}-6 \mathbf{\alpha}=\mathbf{0}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}$ ，并判断 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是否相似于对角矩阵．