| 1 | 选择题 | 函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle x=0$ 处（ ）。A连续且取得极大值 B连续且取得极小值 C可导且导数等于零 D可导且导数不为零 |
| 2 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 可微，且 $\displaystyle f\left(x+1, \mathrm{e}^{x}\right)=x(x+1)^{2}, f\left(x, x^{2}\right)=2 x^{2} \ln x$ ，则 $\displaystyle \mathrm{d} f(1,1)=()$ 。A$\displaystyle \mathrm{d} x+\mathrm{d} y$ B$\displaystyle \mathrm{d} x-\mathrm{d} y$ C$\displaystyle \mathrm{d} y$ D$\displaystyle -\mathrm{d} y$ |
| 3 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{1+x^{2}}$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的 3 次泰勒多项式为 $\displaystyle a x+b x^{2}+c x^{3}$ ，则（ ）．A$\displaystyle a=1, b=0, c=-\frac{7}{6}$ B$\displaystyle a=1, b=0, c=\frac{7}{6}$ C$\displaystyle a=-1, b=-1, c=-\frac{7}{6}$ D$\displaystyle a=-1, b=-1, c=\frac{7}{6}$ |
| 4 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=(\quad)$ ．A$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2 k-1}{2 n}\right) \frac{1}{2 n}$ B$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2 k-1}{2 n}\right) \frac{1}{n}$ C$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{2 n} f\left(\frac{k-1}{2 n}\right) \frac{1}{n}$ D$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{2 n} f\left(\frac{k}{2 n}\right) \frac{2}{n}$ |
| 5 | 选择题 | 设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}-\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}$ 的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）。 |
| 6 | 选择题 | 已知 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), \mathbf{\beta}_{1}=\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}=\mathbf{\alpha}_{2}-k \mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{3}=\mathbf{\alpha}_{3}-l_{1} \mathbf{\beta}_{1}-l_{2} \mathbf{\beta}_{2}$ ，若 $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}$ ， $\displaystyle \mathbf{\beta}_{2}, \mathbf{\beta}_{3}$ 两两相交，则 $\displaystyle l_{1}, l_{2}$ 依次为（ ）。A$\displaystyle \frac{5}{2}, \frac{1}{2}$ B$\displaystyle -\frac{5}{2}, \frac{1}{2}$ C$\displaystyle \frac{5}{2},-\frac{1}{2}$ D$\displaystyle -\frac{5}{2},-\frac{1}{2}$ |
| 7 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 为 $\displaystyle n$ 阶实矩阵，下列结论不成立的是（ ）。A$\displaystyle r\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & \mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{A}\end{array}\right)=2 r(\mathbf{A})$ B$\displaystyle r\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A} & \mathbf{A} \mathbf{B} \\ \mathbf{O} & \mathbf{A}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)=2 r(\mathbf{A})$ C$\displaystyle r\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A} & \mathbf{B} \mathbf{A} \\ \mathbf{O} & \mathbf{A} \mathbf{A}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)=2 r(\mathbf{A})$ D$\displaystyle r\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A} & \mathbf{O} \\ \mathbf{B} \mathbf{A} & \mathbf{A}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)=2 r(\mathbf{A})$ |
| 8 | 选择题 | 设 $\displaystyle A, B$ 为随机事件，且 $0\lt PA若 $\displaystyle P(A \mid B)=P(A)$ ，则 $\displaystyle P(A \mid \bar{B})=P(A)$ B若 $\displaystyle P(A \mid B)\gt P(A)$ ，则 $\displaystyle P(\bar{A} \mid \bar{B})\gt P(\bar{A})$ C若 $\displaystyle P(A \mid B)\gt P(A \mid \bar{B})$ ，则 $\displaystyle P(A \mid B)\gt P(A)$ D若 $\displaystyle P(A \mid A \cup B)\gt P(\bar{A} \mid A \cup B)$ ，则 $\displaystyle P(A)\gt P(B)$ |
| 9 | 选择题 | 设 $\displaystyle \left(X_{1}, Y_{1}\right),\left(X_{2}, Y_{2}\right), \cdots,\left(X_{n}, Y_{n}\right)$ 为来自总体 $\displaystyle N\left(\mu_{1}, \mu_{2} ; \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2} ; \rho\right)$ 的简单随机样本，令 $\displaystyle \theta=\mu_{1}-\mu_{2}, \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, \bar{Y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_{i}, \hat{\theta}=\bar{X}-\bar{Y}$ ，则（ ）。A$\displaystyle \hat{\theta}$ 是 $\displaystyle \theta$ 的无偏估计，$\displaystyle D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}{n}$ B$\displaystyle \hat{\theta}$ 不是 $\displaystyle \theta$ 的无偏估计，$\displaystyle D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}{n}$ C$\displaystyle \hat{\theta}$ 是 $\displaystyle \theta$ 的无偏估计，$\displaystyle D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}-2 \rho \sigma_{1} \sigma_{2}}{n}$ D$\displaystyle \hat{\theta}$ 不是 $\displaystyle \theta$ 的无偏估计，$\displaystyle D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}-2 \rho \sigma_{1} \sigma_{2}}{n}$ |
| 10 | 选择题 | 设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{16}$ 是来自总体 $\displaystyle N(\mu, 4)$ 的简单随机样本，考虑假设检验问题：$\displaystyle H_{0}: \mu \leqslant 10$ ， $\displaystyle H_{1}: \mu\gt 10, \Phi(x)$ 表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为 $\displaystyle W=\{\bar{X} \geqslant 11\}$ ，其中 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16} X_{i}$ ，则 $\displaystyle \mu=11.5$ 时，该检验犯第二类错误的概率为（ ）。A$\displaystyle 1-\Phi(0.5)$ B$\displaystyle 1-\Phi(1)$ C$\displaystyle 1-\Phi(1.5)$ D$\displaystyle 1-\Phi(2)$ |
| 11 | 填空题 | $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}+2 x+2}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 12 | 填空题 | 设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=2 \mathrm{e}^{t}+t+1, \\ y=4(t-1) \mathrm{e}^{t}+t^{2}\end{array}\right.$ 所确定，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=0}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 13 | 填空题 | 欧拉方程 $\displaystyle x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-4 y=0$ 满足条件 $\displaystyle y(1)=1, y^{\prime}(1)=2$ 的解为 $\displaystyle y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 14 | 填空题 | 设 $\displaystyle \Sigma$ 为空间区域 $\displaystyle \left\{(x, y, z) \mid x^{2}+4 y^{2} \leqslant 4,0 \leqslant z \leqslant 2\right\}$ 表面的外侧，则曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 15 | 填空题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(a_{i j}\right)$ 为3阶矩阵，$\displaystyle A_{i j}$ 为代数余子式，若 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的每行元素之和均为 2 ，且 $\displaystyle |\mathbf{A}|=3$ ，则 $\displaystyle A_{11}+A_{21}+A_{31}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 16 | 填空题 | 甲、乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令 $\displaystyle X, Y$ 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$
的相关系数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 17 | 解答题 | 求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}{\mathrm{e}^{x}-1}-\frac{1}{\sin x}\right)$ ． |
| 18 | 解答题 | 设 $\displaystyle u_{n}(x)=\mathrm{e}^{-n x}+\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}(n=1,2, \cdots)$ ，求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的收敛域及和函数． |
| 19 | 解答题 | 已知曲线 $\displaystyle C:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 y^{2}-z=6, \\ 4 x+2 y+z=30,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle C$ 上的点到 $\displaystyle x O y$ 坐标面距离的最大值． |
| 20 | 解答题 | 设 $\displaystyle D \subset \mathbf{R}^{2}$ 是有界单连通闭区域，$\displaystyle I(D)=\iint_{D}\left(4-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 取得最大值的积分区域为 $\displaystyle D_{1}$ ．（I）求 $\displaystyle I\left(D_{1}\right)$ 的值；（II）计算 $\displaystyle \int_{\partial D_{1}} \frac{\left(x \mathrm{e}^{x^{2}+4 y^{2}}+y\right) \mathrm{d} x+\left(4 y \mathrm{e}^{x^{2}+4 y^{2}}-x\right) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \partial D_{1}$ 是 $\displaystyle D_{1}$ 的正向边界． |
| 21 | 解答题 | 已知 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & -1 \\ 1 & a & -1 \\ -1 & -1 & a\end{array}\right)$ ．（I）求正交矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{P}^{\mathrm{T}} \mathbf{A P}$ 为对角矩阵；（II）求正定矩阵 $\displaystyle \mathbf{C}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{C}^{2}=(a+3) \mathbf{E}-\mathbf{A}$ 。 |
| 22 | 解答题 | 在区间 $\displaystyle (0,2)$ 上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度为 $\displaystyle X$ ，较长一段的长度为 $\displaystyle Y$ ，令 $\displaystyle Z=\frac{Y}{X}$ ．（I）求 $\displaystyle X$ 的概率密度；（II）求 $\displaystyle Z$ 的概率密度；（III）求 $\displaystyle E\left(\frac{X}{Y}\right)$ ． |