| 1 | 选择题 | 当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时， $\displaystyle \int_{0}^{x^{2}}\left(\mathrm{e}^{t^{3}}-1\right) \mathrm{d} t$ 是 $\displaystyle x^{7}$ 的（ ）。A低阶无穷小 B等价无穷小 C高阶无穷小 D同阶但非等价无穷小 |
| 2 | 选择题 | 函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle x=0$ 处（ ）．A连续且取极大值 B连续且取极小值． C可导且导数为零 D可导且导数不为零 |
| 3 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)=a x-b \ln x(a\gt 0)$ 有两个零点，则 $\displaystyle \frac{b}{a}$ 的取值范围是（）。A$\displaystyle (e,+\infty)$ B$\displaystyle (0, e)$ C$\displaystyle \left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ D$\displaystyle \left(\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$ |
| 4 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 可微，且 $\displaystyle f\left(x+1, \mathrm{e}^{x}\right)=x(x+1)^{2}, f\left(x, x^{2}\right)=2 x^{2} \ln x$ ，则 $\displaystyle \mathrm{d} f(1,1)=()$ ．A$\displaystyle \mathrm{d} x+\mathrm{d} y$ B$\displaystyle \mathrm{d} x-\mathrm{d} y$ C$\displaystyle \mathrm{d} y$ D$\displaystyle -\mathrm{d} y$ |
| 5 | 选择题 | 二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}-\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}$ 的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）。 |
| 6 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}\right)$ 为4阶正交矩阵， $\displaystyle \mathbf{B}=\left(\begin{array}{l}\mathbf{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}} \\ \mathbf{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}} \\ \mathbf{\alpha}_{3}^{\mathrm{T}}\end{array}\right), \mathbf{\beta}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), k$ 表示任意常数，则线性方程组 $\displaystyle \mathbf{B} \mathbf{X}=\mathbf{\beta}$ 的通解 $\displaystyle \mathbf{X}=(\quad)$ ．A$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{2}+\mathbf{\alpha}_{3}+\mathbf{\alpha}_{4}+k \mathbf{\alpha}_{1}$ B$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{3}+\mathbf{\alpha}_{4}+k \mathbf{\alpha}_{2}$ C$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}+\mathbf{\alpha}_{4}+k \mathbf{\alpha}_{3}$ D$\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}+\mathbf{\alpha}_{3}+k \mathbf{\alpha}_{4}$ |
| 7 | 选择题 | 已知矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5\end{array}\right)$ ，若存在下三角可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ 和上三角可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{Q}$ ，使 $\displaystyle \mathbf{P} \mathbf{A} \mathbf{Q}$为对角矩阵，则 $\displaystyle \mathbf{P}, \mathbf{Q}$ 可以分别取（ ）。A$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ B$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ C$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ D$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ |
| 8 | 选择题 | 设 $\displaystyle A, B$ 为随机事件，且 $\displaystyle 0\lt P(\mathrm{~B})\lt 1$ ，下列命题中为假命题的是（）。A若 $\displaystyle P(A \mid B)=P(\mathrm{~A})$ ，则 $\displaystyle P(A \mid \bar{B})=P(\mathrm{~A})$ B若 $\displaystyle P(A \mid B)\gt P(\mathrm{~A})$ ，则 $\displaystyle P(\bar{A} \mid \bar{B})\gt P(\bar{A})$ C若 $\displaystyle P(A \mid B)\gt P(A \mid \bar{B})$ ，则 $\displaystyle P(A \mid B)\gt P(\mathrm{~A})$ D若 $\displaystyle P(A \mid A \cup B)\gt P(\bar{A} \mid A \cup B)$ ，则 $\displaystyle P(\mathrm{~A})\gt P(\mathrm{~B})$ |
| 9 | 选择题 | 设 $\displaystyle \left(X_{1}, Y_{1}\right),\left(X_{2}, Y_{2}\right), \cdots,\left(X_{n}, Y_{n}\right)$ 为来自总体 $\displaystyle N\left(\mu_{1}, \mu_{2} ; \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2} ; \rho\right)$ 的简单随机样本，令 $\displaystyle \theta=\mu_{1}-\mu_{2}, \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, \bar{Y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_{i}, \hat{\theta}=\bar{X}-\bar{Y}$ ，则（ ）。A$\displaystyle E(\hat{\theta})=\theta, D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}{n}$ B$\displaystyle E(\hat{\theta})=\theta, D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}-2 \rho \sigma_{1} \sigma_{2}}{n}$ C$\displaystyle E(\hat{\theta}) \neq \theta, D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}{n}$ D$\displaystyle E(\hat{\theta}) \neq \theta, D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}-2 \rho \sigma_{1} \sigma_{2}}{n}$ |
| 10 | 选择题 | 设总体 $\displaystyle X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=1\}=\frac{1-\theta}{2}, P\{X=2\}=P\{X=3\}=\frac{1+\theta}{4}$ ，利用来自总体的样本值 $\displaystyle 1,3,2,2,1,3,1,2$ 可得 $\displaystyle \theta$ 的最大似然估计值为（）。A$\displaystyle \frac{1}{4}$ B$\displaystyle \frac{3}{8}$ C$\displaystyle \frac{1}{2}$ D$\displaystyle \frac{5}{$ |
| 11 | 填空题 | 若 $\displaystyle y=\cos \mathrm{e}^{-\sqrt{x}}$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 12 | 填空题 | $\displaystyle \int_{\sqrt{5}}^{5} \frac{x}{\sqrt{\left|x^{2}-9\right|}} \mathrm{d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 13 | 填空题 | 设平面区域 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=\sqrt{x} \sin \pi x(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 与 $\displaystyle x$ 轴围成，则 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转所成的旋转体的体积为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 14 | 填空题 | 差分方程 $\displaystyle \Delta y_{t}=t$ 的通解为 $\displaystyle y_{t}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 15 | 填空题 | 多项式 $\displaystyle f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & x & 1 & 2 x \\ 1 & x & 2 & -1 \\ 2 & 1 & x & 1 \\ 2 & -1 & 1 & x\end{array}\right|$ 中 $\displaystyle x^{3}$ 项的系数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 16 | 填空题 | 甲，乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一个球，令 $\displaystyle X, Y$ 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 $\displaystyle X$与 $\displaystyle Y$ 的相关系数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ |
| 17 | 解答题 | 已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[a \arctan \frac{1}{x}+(1+|x|)^{\frac{1}{x}}\right]$ 存在，求 $\displaystyle a$ 的值． |
| 18 | 解答题 | 求函数 $\displaystyle f(x, y)=2 \ln |x|+\frac{(x-1)^{2}+y^{2}}{2 x^{2}}$ 的极值． |
| 19 | 解答题 | 设有界区域 $\displaystyle D$ 是圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 和直线 $\displaystyle y=x$ 以及 $\displaystyle x$ 轴在第一象限围成的部分，计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{(x+y)^{2}}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ． |
| 20 | 解答题 | 设 $\displaystyle n$ 为正整数，$\displaystyle y=y_{n}(x)$ 是微分方程 $\displaystyle x y^{\prime}-(n+1) y=0$ 的满足条件 $\displaystyle y_{n}(1)=\frac{1}{n(n+1)}$的解．（I）求 $\displaystyle y_{n}(x)$ ；（II）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} y_{n}(x)$ 的收敛域及和函数． |
| 21 | 解答题 | 设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & a & b\end{array}\right)$ 仅有两个不同的特征值，若 $\displaystyle \mathbf{A}$ 相似于对角矩阵，求 $\displaystyle a, b$ 的值，并求可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角矩阵． |
| 22 | 解答题 | 在区间 $\displaystyle (0,2)$ 上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为 $\displaystyle X$ ，较长一段的长度记为 $\displaystyle Y$ ，令 $\displaystyle Z=\frac{Y}{X}$ ．（I）求 $\displaystyle X$ 的概率密度；（II）求 $\displaystyle Z$ 的概率密度；（III）求 $\displaystyle E\left(\frac{X}{Y}\right)$ ． |