| 1 | 选择题 | 当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时， $\displaystyle \int_{0}^{x^{2}}\left(\mathrm{e}^{t^{3}}-1\right) \mathrm{d} t$ 是 $\displaystyle x^{7}$ 的（ ）。A低阶无穷小 B等价无穷小 C高阶无穷小 D同阶但非等价无穷小 |
| 2 | 选择题 | 函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle x=0$ 处（ ）．A连续且取最大值 B连续且取最小值 C可导且导数等于零 D可导且导数不为零 |
| 3 | 选择题 | 有一圆柱体，底面半径与高随时间变化的速率分别为 $\displaystyle 2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s},-3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ，当底面半径为 10 cm ，高为 5 cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（）。A$\displaystyle 125 \pi \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s}, 40 \pi \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}$ B$\displaystyle 125 \pi \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s},-40 \pi \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}$ C$\displaystyle -100 \pi \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s}, 40 \pi \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}$ D$\displaystyle -100 \pi \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s},-40 \pi \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}$ |
| 4 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)=a x-b \ln x(a\gt 0)$ 有两个零点，则 $\displaystyle \frac{b}{a}$ 的取值范围是（）。A$\displaystyle (e,+\infty)$ B$\displaystyle (0, \mathrm{e})$ C$\displaystyle \left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ D$\displaystyle \left(\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$ |
| 5 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)=\sec x$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的 2 次泰勒多项式为 $\displaystyle 1+a x+b x^{2}$ ，则（ ）．A$\displaystyle a=1, b=-\frac{1}{2}$ B$\displaystyle a=1, b=\frac{1}{2}$ C$\displaystyle a=0, b=-\frac{1}{2}$ D$\displaystyle a=0, b=\frac{1}{2}$ |
| 6 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 可微，且 $\displaystyle f\left(x+1, \mathrm{e}^{x}\right)=x(x+1)^{2}, f\left(x, x^{2}\right)=2 x^{2} \ln x$ ，则 $\displaystyle \mathrm{d} f(1,1)=$ （ ）．A$\displaystyle \mathrm{d} x+\mathrm{d} y$ B$\displaystyle \mathrm{d} x-\mathrm{d} y$ C$\displaystyle \mathrm{d} y$ D$\displaystyle -\mathrm{d} y$ |
| 7 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=(\quad)$ ．A$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2 k-1}{2 n}\right) \frac{1}{2 n}$ B$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2 k-1}{2 n}\right) \frac{1}{n}$ C$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{2 n} f\left(\frac{k-1}{2 n}\right) \frac{1}{n}$ D$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{2 n} f\left(\frac{k}{2 n}\right) \frac{2}{n}$ |
| 8 | 选择题 | 设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}-\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}$ 的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）。 |
| 9 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 均为 $\displaystyle n$ 阶矩阵，若 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ 的解均为 $\displaystyle \mathbf{B} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ 的解，则A$\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ 的解均为 $\displaystyle \mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ 的解 B$\displaystyle \mathbf{B} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ 的解均为 $\displaystyle \mathbf{B}^{\mathrm{T}} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ 的解 C$\displaystyle \mathbf{B}^{\mathrm{T}} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ 的解均为 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ 的解 D$\displaystyle \mathbf{B}^{\mathrm{T}} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ 的解均为 $\displaystyle \mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{X}=\mathbf{0}$ 的解 |
| 10 | 选择题 | 已知矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5\end{array}\right)$ ，若存在下三角可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ 和上三角可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{Q}$ ，使得 $\displaystyle P A Q$ 为对角矩阵，则 $\displaystyle P, Q$ 分别可以取（ ）．A$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ B$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ C$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ D$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$\right) |
| 11 | 填空题 | $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|x| 3^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 12 | 填空题 | 设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=2 \mathrm{e}^{t}+t+1 \\ y=4(t-1) \mathrm{e}^{t}+t^{2}\end{array}\right.$ 所确定，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=0}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 13 | 填空题 | 设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle (x+1) z+y \ln z-\arctan 2 x y=1$ 确定，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,2)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 14 | 填空题 | 已知函数 $\displaystyle f(t)=\int_{1}^{t^{2}} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{t} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d} y$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 15 | 填空题 | 微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime \prime}-y=0$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 16 | 填空题 | 多项式 $\displaystyle f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & x & 1 & 2 x \\ 1 & x & 2 & -1 \\ 2 & 1 & x & 1 \\ 2 & -1 & 1 & x\end{array}\right|$ 中 $\displaystyle x^{3}$ 项的系数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ |
| 17 | 解答题 | 求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}{\mathrm{e}^{x}-1}-\frac{1}{\sin x}\right)$ ． |
| 18 | 解答题 | （本题满分 12 分）
已知 $\displaystyle f(x)=\frac{x|x|}{1+x}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的凹凸区间及渐近线． |
| 19 | 解答题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle \int \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{6} x^{2}-x+C, L$ 为曲线 $\displaystyle y=f(x)(4 \leqslant x \leqslant 9)$ ，$\displaystyle L$ 的弧长为 $\displaystyle s, L$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所形成的曲面面积为 $\displaystyle A$ ，求 $\displaystyle s$ 与 $\displaystyle A$ ． |
| 20 | 解答题 | 设 $\displaystyle y=y(x)(x\gt 0)$ 满足微分方程 $\displaystyle x y^{\prime}-6 y=-6$ ，且满足 $\displaystyle y(\sqrt{3})=10$ ，（I）求 $\displaystyle y(x)$ ；（II）设 $\displaystyle P$ 为曲线 $\displaystyle y=y(x)$ 上的一点，曲线 $\displaystyle y=y(x)$ 在点 $\displaystyle P$ 的法线在 $\displaystyle y$ 轴上的截距为 $\displaystyle I_{P}$ ，为使 $\displaystyle I_{P}$ 最小，求 $\displaystyle P$ 的坐标。 |
| 21 | 解答题 | 曲线 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2}(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 与 $\displaystyle x$ 轴围成的区域为 $\displaystyle D$ ，求 $\displaystyle \iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ． |
| 22 | 解答题 | 设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & a & b\end{array}\right)$ 仅有两个不同的特征值．若 $\displaystyle \mathbf{A}$ 相似对角于对角矩阵，求常数 $\displaystyle a, b$ 的值，并求可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角矩阵． |