| 1 | 选择题 | 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{\ln x}=1$ ，则 ．A$\displaystyle f(1)=0$ B$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ C$\displaystyle f^{\prime}(1)=1$ D$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f^{\prime}(x)=1$ |
| 2 | 选择题 | 已知 $\displaystyle z=xy f\left(\frac{y}{x}\right)$，且 $\displaystyle f(u)$ 可导，$\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=y^2(\ln y-\ln x)$，则（ ）A$\displaystyle f(1)=\frac{1}{2}, f'(1)=0$ B$\displaystyle f(1)=0, f'(1)=\frac{1}{2}$ C$\displaystyle f(1)=\frac{1}{2}, f'(1)=1$ D$\displaystyle f(1)=0, f'(1)=1$ |
| 3 | 选择题 | 设 $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leq x_n \leq \frac{\pi}{2}$ ，则（ ）A若 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos(\sin x_n)$ 存在，则 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n$ 存在。 B若 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sin(\cos x_n)$ 存在，则 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n$ 存在。 C若 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos(\sin x_n)$ 存在且 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sin x_n$ 存在，则 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n$ 不一定存在。 D若 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sin(\cos x_n)$ 存在且 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos x_n$ 存在，则 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n$ 不一定存在。 |
| 4 | 选择题 | $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{1} \frac{x}{2(1+\cos x)} d x, I_{2}=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+\cos x} d x, I_{3}=\int_{0}^{1} \frac{2 x}{1+\sin x} d x$ ，则A$\displaystyle I_{1}\lt I_{2}\lt I_{3}$ ． B$\displaystyle I_{3}\lt I_{1}\lt I_{2}$ ． C$\displaystyle I_{2}\lt I_{1}\lt I_{3}$ ． D$\displaystyle I_{2}\lt I_{1}\lt I_{3}$ ． |
| 5 | 选择题 | 下列是 $\displaystyle A_{3 \times 3}$ 可对角化的充分而非必要条件是AA 有 3 个不同特征值 BA 有 3 个无关的特征向量 CA 有 3 个两两无关的特征向量 DA 不同特征值对应的特征向量正交 |
| 6 | 选择题 | 设矩阵 $\displaystyle A, B$ 均为 $\displaystyle n$ 阶方阵，若 $\displaystyle A x=0$ 与 $\displaystyle B x=0$ 同解，则（ ）．A$\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & O \\ E & B\end{array}\right) x=0$ 仅有零解 B$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A B & B \\ O & A\end{array}\right) x=0$ 仅有零解 C$\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & B \\ O & B\end{array}\right) x=0$ 与 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}B & A \\ O & A\end{array}\right) x=0$ 同解 D$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A B & B \\ O & A\end{array}\right) x=0$ 与 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}B A & A \\ O & B\end{array}\right) x=0$ 同解 |
| 7 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{l}\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ \lambda \\ 1\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ \lambda\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{4}=\left(\begin{array}{c}1 \\ \lambda \\ \lambda^{2}\end{array}\right)$ ，若 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}$ 与 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{4}$ 等价，则 $\displaystyle \lambda \in(\quad)$ ．A$\displaystyle \{\lambda \mid \lambda \in \mathbb{R}\}$ B$\displaystyle \{\lambda \mid \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq-1\}$ C$\displaystyle \{\lambda \mid \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq-1, \lambda \neq-2\}$ D$\displaystyle \{\lambda \mid \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq-2\}$ |
| 8 | 选择题 | 设 $\displaystyle X \sim U(0,3), Y \sim P(2), \operatorname{Cov}(X, Y)=-1$ ，求 $\displaystyle D(2 X-Y+1)=(\quad)$ ． |
| 9 | 选择题 | 设 $\displaystyle X_1, X_2, \ldots, X_n$ 独立同分布，$\displaystyle E(X_i^k)=\mu_k$ ，用切比雪夫不等式估计 $\displaystyle P\left\{\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i - \mu_1\right| \geq \varepsilon\right\} \leq ?$A$\displaystyle \frac{\mu_4-\mu_2^2}{n \varepsilon^2}$ B$\displaystyle \frac{\mu_4-\mu_2^2}{\sqrt{n} \varepsilon^2}$ C$\displaystyle \frac{\mu_2-\mu_1^2}{n \varepsilon^2}$ D$\displaystyle \frac{\mu_2-\mu_1^2}{\sqrt{n} \varepsilon^2}$ |
| 10 | 选择题 | 设 $\displaystyle X \sim N(0,1)$ ，在 $\displaystyle X=x$ 的条件下，$\displaystyle Y \sim N(x, 1)$ ，则 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 的相关系数为（ ）．A1 B$\displaystyle \frac{1}{2}$ C$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$ D$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ |
| 11 | 填空题 | $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 处最大的方向导数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 12 | 填空题 | $\displaystyle \int_{1}^{e^{2}} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} d x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 13 | 填空题 | 设 $\displaystyle x \geq 0, y \geq 0$ ，满足 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leq k e^{x+y}$ ，则 $\displaystyle k$ 的最小值为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 14 | 填空题 | 级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} e^{-n-x}$ 的收敛域为 $\displaystyle (a,+\infty)$ ，则 $\displaystyle a=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 15 | 填空题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{A}-\mathbf{E}$ 可逆，若 $\displaystyle \mathbf{B}$ 满足 $\displaystyle \left(\mathbf{E}-(\mathbf{A}-\mathbf{E})^{-1}\right) \mathbf{B}=\mathbf{A}$ ，则 $\displaystyle \mathbf{B}-\mathbf{A}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 16 | 填空题 | 设 $\displaystyle A, B, C$ 满足 $\displaystyle A, B$ 互不相容，$\displaystyle A, C$ 互不相容，$\displaystyle B, C$ 相互独立， $\displaystyle P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$ ，则 $\displaystyle P[(B \bigcup C) \mid(A \bigcup B \bigcup C)]=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
三、解答题： $\displaystyle 17 \sim 22$ 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． |
| 17 | 解答题 | （本题满分 10 分）
设 $\displaystyle y=y(x)$ 满足 $\displaystyle y^{\prime}+\frac{1}{2 \sqrt{x}} y=2+\sqrt{x}, y(1)=3$ ，求 $\displaystyle y(x)$ 渐近线． |
| 18 | 解答题 | 已知平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid y-2 \leq x \leq \sqrt{4-y^2}, 0 \leq y \leq 2\right\} $，计算 $\displaystyle I=\iint_D \frac{(x-y)^2}{x^2+y^2} d x d y$ |
| 19 | 解答题 | 设 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle 4x^2+y^2+z^2=1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$ 的上侧，$\displaystyle \Sigma$ 的边界 $\displaystyle L$ 的方向与 $\displaystyle \Sigma$ 的侧符合右手法则，求 $\displaystyle \int_L (yz^2-\cos z) dz + 2xy^2 dy + (2xyz + x\sin z) dz$ |
| 20 | 解答题 | （本题满分 12 分）
设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有二阶连续导数，证明：$\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 的充要条件是对任意的实数 $\displaystyle a, b$ ，有 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x$ ． |
| 21 | 解答题 | （本题满分 12 分）
设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} i j x_{i} x_{j}$ ．
（1）求二次型矩阵（2）求正交矩阵 $\displaystyle \mathbf{Q}$ ，使得二次型经正交变换 $\displaystyle \mathbf{x}=Q y$ 化为标准形（3）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解 |
| 22 | 解答题 | （本题满分 12 分）
设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自期望为 $\displaystyle \theta$ 的指数分布的简单随机样本，$\displaystyle Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{m}$ 是来自期望为 $\displaystyle 2 \theta$ 的指数分布的简单随机样本，且 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{m}$ 相互独立，求 $\displaystyle \theta$ 的最大似然估计量 $\displaystyle \hat{\theta}$ ，及 $\displaystyle D(\hat{\theta})$ ． |