2022年 数学三 真题

共22题

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#题型题目
1选择题当 $\displaystyle x \to 0$ 时，$\displaystyle \alpha(x), \beta(x)$ 是非零无穷小量，给出以下四个命题：（1）若 $\displaystyle \alpha(x) \sim \beta(x)$ ，则 $\displaystyle \alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$（2）若 $\displaystyle \alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$ ，则 $\displaystyle \alpha(x) \sim \beta(x)$（3）若 $\displaystyle \alpha(x) \sim \beta(x)$ ，则 $\displaystyle \alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))$（4）若 $\displaystyle \alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))$ ，则 $\displaystyle \alpha(x) \sim \beta(x)$ 其中正确的序号是
A（1）（2）
B（1）（4）
C（1）（3）（4）
D（2）（3）（4）
2选择题已知 $\displaystyle a_n=\sqrt[n]{n}-\frac{(-1)^n}{n}(n=1,2,\ldots)$ ，则 $\displaystyle \{a_n\}$
A有最大值，有最小值
B有最大值，没有最小值
C没有最大值，有最小值
D没有最大值，没有最小值
3选择题设函数 $\displaystyle F(x, y)=\int_0^{x-y}(x-y-t) f(t) dt$ ，则
A$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
B$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
C$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=-\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
D$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=-\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
4选择题已知 $\displaystyle I_1=\int_0^1 \frac{x}{2(1+\cos x)} dx, I_2=\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+\cos x} dx, I_3=\int_0^1 \frac{2x}{1+\sin x} dx$ ，则
A$\displaystyle I_1 \lt I_2 \lt I_3$
B$\displaystyle I_2 \lt I_1 \lt I_3$
C$\displaystyle I_1 \lt I_3 \lt I_2$
D$\displaystyle I_3 \lt I_2 \lt I_1$
5选择题设 $\displaystyle A$ 为 3 阶矩阵，$\displaystyle \L\lambda=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle A$ 特征值为 $\displaystyle 1,-1,0$ 的充分必要条件是；
A存在可逆矩阵 $\displaystyle P, Q$ ，使得 $\displaystyle A=P \Lambda Q$
B存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使得 $\displaystyle A=P A P^{-1}$
C存在正交矩阵 $\displaystyle Q$ ，使得 $\displaystyle A=Q \Lambda Q^{-1}$
D存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使得 $\displaystyle A=P \Lambda P^{T}$
6选择题设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2}\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)$ ，则线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 解的情况为（
A无解
B有解
C有无穷多解或无解
D有唯一解或无解
7选择题设 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ \lambda \\ 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ \lambda\end{array}\right), \alpha_{4}=\left(\begin{array}{c}1 \\ \lambda \\ \lambda^{2}\end{array}\right)$ ．若向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 与 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}$ 等价，则 $\displaystyle \lambda$ 的取值范围是（ ）
A$\displaystyle \{0,1\}$
B$\displaystyle \{\lambda \mid \lambda \in R, \lambda \neq-2\}$
C$\displaystyle \{\lambda \mid \lambda \in R, \lambda \neq-1, \lambda \neq-2\}$
D$\displaystyle \{\lambda \mid \lambda \in R, \lambda \neq-1\}$
8选择题设随机变量 $\displaystyle X \sim N(0,4)$ ，随机变量 $\displaystyle Y \sim B\left(3, \frac{1}{3}\right)$ ，且 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 不相关，则 $\displaystyle D(X-3 Y+1)=$（）
A2
B4
C6
D10
9选择题设随机变量序列 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, \ldots$ 独立同分布，且 $\displaystyle X_{1}$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-|x|,|x|\lt 1 \\ 0, \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，则当 $\displaystyle n \rightarrow \infty$ 时，$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} X_{j}^{2}$ 依概率收敛于（
A$\displaystyle \frac{1}{8}$
B$\displaystyle \frac{1}{6}$
C$\displaystyle \frac{1}{3}$
D$\displaystyle \frac{1}{2}$
10选择题设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率分布
$\displaystyle X \sim Y$012
-10.10.1$\displaystyle b$
1$\displaystyle a$0.10.1
若事件 $\displaystyle \{\max \{X, Y\}=2\}$ 与事件 $\displaystyle \{\min \{X, Y\}=1\}$ 相互独立，则 $\displaystyle \operatorname{Cov}(X, Y)=\{$
A-0.6
B-0.36
C0
D0.48
11填空题$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right)^{\cot x}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题$\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{2 x-4}{x^{2}+2 x+4} d x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题已知函数 $\displaystyle f(x)=e^{\mathrm{in} x}+e^{-\mathrm{sin} x}$ ，则 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(2 \pi)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题已知函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}e^{x}, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text { 其它 }\end{array}\right.$ ，则 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} d x \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) f(y-x) d y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
15填空题设 $\displaystyle A$ 为 3 阶矩阵，交换 $\displaystyle A$ 的第 2 行和第 3 行，再将第 2 列的 -1 倍加到第 1 列，得到矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}-2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle A^{-1}$ 的迹tr $\displaystyle \left(A^{-1}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
16填空题设 $\displaystyle A, B, C$ 为随机事件，且 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 互不相容，$\displaystyle A$ 与 $\displaystyle C$ 互不相容，$\displaystyle B$ 与 $\displaystyle C$ 相互独立， $\displaystyle P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$ ，则 $\displaystyle P(B \cup C \mid A \cup B \cup C)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
17解答题（本题满分 10 分） 设函数 $\displaystyle y(x)$ 是微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+\frac{1}{2 \sqrt{x}} y=2+\sqrt{x}$ 满足条件 $\displaystyle y(1)=3$ 的解，求曲线 $\displaystyle y=y(x)$ 的渐近线．
18解答题（本题满分 12 分） 设某产品的产量 $\displaystyle Q$ 由资本投入量 $\displaystyle x$ 和劳动投入量 $\displaystyle y$ 决定，生产函数为 $\displaystyle Q=12 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{5}}$ ，该产品的销售单价 $\displaystyle P$ 与 $\displaystyle Q$ 的关系为 $\displaystyle P=1160-1.5 Q$ ，若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为 6 和 8 ，求利润最大时的产量
19解答题（本题满分 12 分） 已知平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid y-2 \leq x \leq \sqrt{4-y^{2}}, 0 \leq y \leq 2\right\}$ ，计算 $\displaystyle I=\iint_{D} \frac{(x-y)^{2}}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
20解答题（本题满分 12 分） 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-4)^{n}+1}{4^{n}(2 n+1)} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数 $\displaystyle S(x)$ ．
21解答题（本题满分 12 分） 已知二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=3 x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}$ ，（1）求正交变换 $\displaystyle x=Q y$ 将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准型；（2）证明： $\displaystyle \min \frac{f(x)}{x^{T} x}=2$ ．
22解答题设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自均值为 $\displaystyle \theta$ 的指数分布总体的简单随机样本，$\displaystyle Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{m}$ 为来自均值为 $\displaystyle 2 \theta$ 的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中 $\displaystyle \theta(\theta\gt 0)$ 是未知参数．利用样本 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{m}$ ，求 $\displaystyle \theta$ 的最大似然估计量 $\displaystyle \hat{\theta}$ ，并求 $\displaystyle D(\hat{\theta})$ ．