| 1 | 选择题 | （1）当 $x \rightarrow 0$\displaystyle 时，$\alpha(x), \beta(x)$ 是非零无穷小量，则以下四命题（1）若 $\displaystyle \alpha(x) \sim \beta(x)$ ，则 $\displaystyle \alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$ ．（2）若 $\displaystyle \alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$ ，则 $\displaystyle \alpha(x) \sim \beta(x)$ ．（3）若 $\displaystyle \alpha(x) \sim \beta(x)$ ，则 $\displaystyle \alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))$ ．（4）若 $\displaystyle \alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))$ ，则 $\displaystyle \alpha(x) \sim \beta(x)$ ．
真命题的序号是A（1）（3）． B（1）（4）． C（1）（3）（4）． D（2）（3）（4）． |
| 2 | 选择题 | $\displaystyle \int_{0}^{2} dy \int_{y}^{2} \frac{y}{\sqrt{1+x^3}} dx=$A$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}$ B$\displaystyle \frac{1}{3}$ C$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}$ D$\displaystyle \frac{2}{3}$ |
| 3 | 选择题 | （3）设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处有 2 阶导数，则A当 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_0$ 的某邻域内单调增加时，$\displaystyle f^{\prime}\left(x_0 \right)>0$ B当 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_0 \right)>0$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_0$ 的某邻域内单调增加 C当 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_0$ 的某邻域内是凹函数时，$\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_0 \right)>0$ D当 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_0 \right)>0$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_0$ 的某邻域内是凹函数 |
| 4 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle F(x, y)=\int_{0}^{x-y}(x-y-t) f(t) dt$ ，则A$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$ B$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$ C$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=-\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$ D$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=-\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$ |
| 5 | 选择题 | 设 $\displaystyle p$ 为常数，若反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^{p}(1-x)^{1-p}} d x$ 收敛，则 $\displaystyle p$ 的取值范围是（ ）A$\displaystyle (-1,1)$ B$\displaystyle (-1,2)$ C$\displaystyle (-\infty, 1)$ D$\displaystyle (-\infty, 2)$ |
| 6 | 选择题 | 已知数列 $\displaystyle \{x_n\}$ ，其中 $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leq x_n \leq \frac{\pi}{2}$ ，则A当 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos(\sin x_n)$ 存在时，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n$ 存在。 B当 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sin(\cos x_n)$ 存在时，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n$ 存在。 C当 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos(\sin x_n)$ 存在且 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sin x_n$ 存在，但 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n$ 不一定存在。 D当 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sin(\cos x_n)$ 存在且 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos x_n$ 存在，但 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n$ 不一定存在。 |
| 7 | 选择题 | 已知 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{1} \frac{x}{2(1+\cos x)} d x, I_{2}=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+\cos x} d x, I_{3}=\int_{0}^{1} \frac{2 x}{1+\sin x} d x$ ，则（ ）A$\displaystyle I_{1}\lt I_{2}\lt I_{3}$ B$\displaystyle I_{2}\lt I_{1}\lt I_{3}$ C$\displaystyle I_{1}\lt I_{3}\lt I_{2}$ D$\displaystyle I_{3}\lt I_{2}\lt I_{1}$ |
| 8 | 选择题 | 设 $\displaystyle A$ 为 3 阶矩阵，$\displaystyle \Lambda=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,-1,0$ 的充分必要条件是（ ）A存在可逆矩阵 $\displaystyle P, Q$ ，使得 $\displaystyle A=P \Lambda Q$ B存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使得 $\displaystyle A=P \Lambda P^{-1}$ C存在正交矩阵 $\displaystyle Q$ ，使得 $\displaystyle A=Q \Lambda Q^{-1}$ D存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使得 $\displaystyle A=P \Lambda P^{T}$ |
| 9 | 选择题 | 设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2}\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)$ 则线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 解的情况为（ ） |
| 10 | 选择题 | 设 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ \lambda \\ 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ \lambda\end{array}\right), \alpha_{4}=\left(\begin{array}{c}1 \\ \lambda \\ \lambda^{2}\end{array}\right)$ ，若向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 与 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}$ 等价，则 $\displaystyle \lambda$的取值范围是（ ）A$\displaystyle \{0,1\}$ B$\displaystyle \{\lambda \mid \lambda \in R, \lambda \neq 2\}$ C$\displaystyle \{\lambda \mid \lambda \in R, \lambda \neq-1, \lambda \neq-2\}$ D$\displaystyle \{\lambda \mid \lambda \in R, \lambda \neq-1\}$ |
| 11 | 填空题 | $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right)^{\cot x}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 12 | 填空题 | 已知函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle x^{2}+x y+y^{3}=3$ 确定，则 $\displaystyle y^{\prime \prime}(1)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 13 | 填空题 | $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2 x+3}{x^{2}-x+1} d x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 14 | 填空题 | 微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=0$ 的通解 $\displaystyle y(x)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 15 | 填空题 | 已知曲线 $\displaystyle L$ 的极坐标方程为 $\displaystyle r=\sin 3 \theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}\right)$ ，则 $\displaystyle L$ 围成有界区域的面积为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 16 | 填空题 | 设 $\displaystyle A$ 为 3 阶矩阵，交换 $\displaystyle A$ 的第 2 行和第 3 行，再将第 2 列的 -1 倍加到第 1 列，得到矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}-2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle A^{-1}$ 的迹tr $\displaystyle \left(A^{-1}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ |
| 17 | 解答题 | 已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 处可导且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(e^{x^{2}}\right)-3 f\left(1+\sin ^{2} x\right)}{x^{2}}=2$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ ． |
| 18 | 解答题 | 设函数 $\displaystyle y(x)$ 是微分方程 $\displaystyle 2 x y^{\prime}-4 y=2 \ln x-1$ 满足条件 $\displaystyle y(1)=\frac{1}{4}$ 的解，求曲线 $\displaystyle y=y(x)(1 \leq x \leq e)$ 的孤长． |
| 19 | 解答题 | 已知平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid y-2 \leq x \leq \sqrt{4-y^{2}}, 0 \leq y \leq 2\right\}$ ，计算 $\displaystyle I=\iint_{D} \frac{(x-y)^{2}}{x^{2}+y^{2}} d x d y$ ． |
| 20 | 解答题 | 已知可微函数 $\displaystyle f(u, v)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f(u, v)}{\partial u}-\frac{\partial f(u, v)}{\partial v}=2(u-v) e^{-(u+v)}$ 且 $\displaystyle f(u, 0)=u^{2} e^{-u}$ ．（I）记 $\displaystyle g(x, y)=f(x, y-x)$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial g(x, y)}{\partial x}$ ；（II）求 $\displaystyle f(u, v)$ 的表达式和极值． |
| 21 | 解答题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内具有2阶连续导数．证明：$\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 的充分必要条件是：对不同的实数 $\displaystyle a, b, f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$. |
| 22 | 解答题 | 已知二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=3 x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}$ ，（I）求正交变换 $\displaystyle x=C y$ 将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形；（II）证明 $\displaystyle \min _{x \neq 0} \frac{f(x)}{x^{T} x}=2$ ． |