| 1 | 选择题 | 曲线 $\displaystyle y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜渐近线方程为A$\displaystyle y=x+\mathrm{e}$ ． B$\displaystyle y=x+\frac{1}{\mathrm{e}}$ ． C$\displaystyle y=x$ ． D$\displaystyle y=x-\frac{1}{\mathrm{e}}$ ． |
| 2 | 选择题 | 若微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界，则A$\displaystyle a\lt 0, b\gt 0$ ． B$\displaystyle a\gt 0, b\gt 0$ ． C$\displaystyle a=0, b\gt 0$ ． D$\displaystyle a=0, b\lt 0$ ． |
| 3 | 选择题 | 已知 $\displaystyle y=f(x)$ 由 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=2 t+|t|, \\ y=|t| \sin t\end{array}\right.$ 确定，则A$\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle f^{\prime}(0)$ 不存在． B$\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处不连续． C$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 连续，$\displaystyle f^{\prime \prime}(0)$ 不存在． D$\displaystyle f^{\prime \prime}(0)$ 存在，$\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处不连续． |
| 4 | 选择题 | 已知 $\displaystyle a_{n}\lt b_{n}(n=1,2, \cdots)$ ．若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均收敛，则＂$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛＂是＂$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛＂的A充分必要条件． B充分不必要条件． C必要不充分条件． D既不充分也不必要条件． |
| 5 | 选择题 | 已知 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ 满足 $\displaystyle \mathbf{A B C}=\mathbf{O}, \mathbf{E}$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵。记矩阵 $\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\mathbf{O} & \mathbf{A} \\ \mathbf{B C} & \mathbf{E}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A B} & \mathbf{C} \\ \mathbf{O} & \mathbf{E}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}\mathbf{E} & \mathbf{A B} \\ \mathbf{A B} & \mathbf{O}\end{array}\right]$ 的秩分别为 $\displaystyle r_{1}, r_{2}, r_{3}$ ，则A$\displaystyle r_{1} \leqslant r_{2} \leqslant r_{3}$ ． B$\displaystyle r_{1} \leqslant r_{3} \leqslant r_{2}$ ． C$\displaystyle r_{3} \leqslant r_{1} \leqslant r_{2}$ ． D$\displaystyle r_{2} \leqslant r_{1} \leqslant r_{3}$ ． |
| 6 | 选择题 | 下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是A$\displaystyle \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ ． B$\displaystyle \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 1 & 2 & 0 \\ a & 0 & 3\end{array}\right]$ ． C$\displaystyle \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ ． D$\displaystyle \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ ． |
| 7 | 选择题 | 已知向量 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \mathbf{\beta}_{1}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 9\end{array}\right), \mathbf{\beta}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ．若 $\displaystyle \mathbf{\gamma}$ 既可由 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$ 线性表示，也可由 $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}$线性表示，则 $\displaystyle \mathbf{\gamma}=$A$\displaystyle k\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$ ． B$\displaystyle k\left(\begin{array}{c}3 \\ 5 \\ 10\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$ ． C$\displaystyle k\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$ ． D$\displaystyle k\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 8\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$ ． |
| 8 | 选择题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 服从参数为 1 的泊松分布，则 $\displaystyle E(|X-E X|)=$A$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}$ ． B$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． C$\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}}$ ． D1 ． |
| 9 | 选择题 | 设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $\displaystyle N\left(\mu_{1}, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，$\displaystyle Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{m}$ 为来自总体 $\displaystyle N\left(\mu_{2}\right.$ ， $\displaystyle \left.2 \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，且两样本相互独立．记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, \bar{Y}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} Y_{i}, S_{1}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}\right. -\bar{X})^{2}, S_{2}^{2}=\frac{1}{m-1} \sum_{i=1}^{m}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}$ ，则A$\displaystyle \frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} \sim F(n, m)$ ． B$\displaystyle \frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} \sim F(n-1, m-1)$ ． C$\displaystyle \frac{2 S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} \sim F(n, m)$ ． D$\displaystyle \frac{2 S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} \sim F(n-1, m-1)$ ． |
| 10 | 选择题 | 设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 为来自总体 $\displaystyle N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，其中 $\displaystyle \sigma(\sigma\gt 0)$ 是未知参数．若 $\displaystyle \hat{\sigma}=a \mid X_{1}- X_{2} \mid$ 为 $\displaystyle \sigma$ 的无偏估计，则 $\displaystyle a=$A$\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ． B$\displaystyle \frac{\sqrt{2 \pi}}{2}$ ． C$\displaystyle \sqrt{\pi}$ ． D$\displaystyle \sqrt{2 \pi}$ |
| 11 | 填空题 | 当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时，函数 $\displaystyle f(x)=a x+b x^{2}+\ln (1+x)$ 与 $\displaystyle g(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}-\cos x$ 是等价无穷小，则 $\displaystyle a b=$$\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 12 | 填空题 | 曲面 $\displaystyle z=x+2 y+\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)$ 在点 $\displaystyle (0,0,0)$ 处的切平面方程为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 13 | 填空题 | 设 $\displaystyle f(x)$ 是周期为 2 的周期函数，且 $\displaystyle f(x)=1-x, x \in[0,1]$ ．若 $\displaystyle f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n \pi x$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 14 | 填空题 | 设连续函数 $\displaystyle f(x)$ 满足：$\displaystyle f(x+2)-f(x)=x, \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle \int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 15 | 填空题 | 已知向量 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), \mathbf{\beta}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \mathbf{\gamma}=k_{1} \mathbf{\alpha}_{1}+k_{2} \mathbf{\alpha}_{2}+k_{3} \mathbf{\alpha}_{3}$ ．若 $\displaystyle \mathbf{\gamma}^{\mathrm{T}} \mathbf{\alpha}_{i}= \mathbf{\beta}^{\mathrm{T}} \mathbf{\alpha}_{i}(i=1,2,3)$ ，则 $\displaystyle k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 16 | 填空题 | 根据您提供的信息，该题目为一道填空题，且内容已完整，无需补全其他小问。以下是完整题目：
设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，且 $\displaystyle X \sim B\left(1, \frac{1}{3}\right), Y \sim B\left(2, \frac{1}{2}\right)$ ，则 $\displaystyle P\{X=Y\}=$ |
| 17 | 解答题 | 设曲线 $\displaystyle y=y(x)(x\gt 0)$ 经过点 $\displaystyle (1,2)$ ，该曲线上任一点 $\displaystyle P(x, y)$ 到 $\displaystyle y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $\displaystyle y$ 轴上的截距．（I）求 $\displaystyle y(x)$ ；（II）求函数 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} y(t) \mathrm{d} t$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的最大值． |
| 18 | 解答题 | 求函数 $\displaystyle f(x, y)=\left(y-x^{2}\right)\left(y-x^{3}\right)$ 的极值． |
| 19 | 解答题 | 根据题目开头信息，这应该是2023年考研数学一第19题，通常这类解答题只有一问。补全后的完整题目如下：
---
**年份:** 2023年
**题号:** 第19题
**题型:** 解答题
设空间有界区域 $\displaystyle \Omega$ 由柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 与平面 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle x+z=1$ 围成，$\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle \Omega$ 边界面的外侧，计算曲面积分
$$
I=\oiint_{\Sigma} 2 x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x z \cos y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 y z \sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .$$ |
| 20 | 解答题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上具有 2 阶连续导数．证明：（ I ）若 $\displaystyle f(0)=0$ ，则存在 $\displaystyle \xi \in(-a, a)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{1}{a^{2}}[f(a)+f(-a)]$ ；（II）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-a, a)$ 内取得极值，则存在 $\displaystyle \eta \in(-a, a)$ ，使得 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\eta)\right| \geqslant \frac{1}{2 a^{2}}|f(a)-f(-a)|$ ． |
| 21 | 解答题 | 已知二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}, g\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+ 2 y_{2} y_{3}$ ．（I）求可逆变换 $\displaystyle \mathbf{x}=\mathbf{P y}$ 将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为 $\displaystyle g\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)$ ；（II）是否存在正交变换 $\displaystyle \mathbf{x}=\mathbf{Q y}$ 将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为 $\displaystyle g\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)$ ？ |
| 22 | 解答题 | 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{2}{\pi}\left(x^{2}+y^{2}\right), & x^{2}+y^{2} \leqslant 1, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array}\right.$$
（I）求 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 的协方差；（II）$\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 是否相互独立？（III）求 $\displaystyle Z=X^{2}+Y^{2}$ 的概率密度． |