| 1 | 选择题 | 已知函数 $\displaystyle f(x, y)=\ln (y+|x \sin y|)$ ，则 （ ）A$\displaystyle \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)}$ 不存在，$\displaystyle \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 存在 B$\displaystyle \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)}$ 存在，$\displaystyle \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 不存在 C$\displaystyle \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)},\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 均存在 D$\displaystyle \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)},\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)}$ 均不存在 |
| 2 | 选择题 | 函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x, x\gt 0\end{array}\right.$ 的原函数为（ ）A$\displaystyle \quad F(x)=\left\{\begin{array}{c}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right), x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x\gt 0\end{array}\right.$ B$\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x\gt 0\end{array}\right.$ C$\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{c}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right), x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x\gt 0\end{array}\right.$ D$\displaystyle \quad F(x)=\left\{\begin{array}{c}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x\gt 0\end{array}\right.$ |
| 3 | 选择题 | 已知微分方程式 $\displaystyle y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $\displaystyle (-\infty, \infty)$ 上有界，则（ ）A$\displaystyle a\lt 0, b\gt 0$ B$\displaystyle a\gt 0, b\gt 0$ C$\displaystyle a=0, b\gt 0$ D$\displaystyle a=0, b\lt 0$ |
| 4 | 选择题 | （4）已知 $\displaystyle a_{n}\lt b_{n}(n=1,2, \cdots)$ 。若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均收敛，则＂$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛＂是＂$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛＂的A充分必要条件。 B充分不必要条件． C必要不充分条件． D既不充分也不必要条件． |
| 5 | 选择题 | 设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 为 $\displaystyle n$ 阶可逆矩阵， $\displaystyle \mathbf{E}$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵， $\displaystyle \mathbf{M}^{*}$ 为矩阵 $\displaystyle \mathbf{M}$ 的伴随矩阵，则 $\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\mathbf{A} & \mathbf{E} \\ \mathbf{O} & \mathbf{B}\end{array}\right]^{*}=$A$\displaystyle \left[\begin{array}{cc}|\mathbf{A}| \mathbf{B}^{*} & -\mathbf{B}^{*} \mathbf{A}^{*} \\ \mathbf{O} & |\mathbf{B}| \mathbf{A}^{*}\end{array}\right]$ ． B$\displaystyle \left[\begin{array}{cc}|\mathbf{B}| \mathbf{A}^{*} & -\mathbf{A}^{*} \mathbf{B}^{*} \\ \mathbf{O} & |\mathbf{A}| \mathbf{B}^{*}\end{array}\right]$. C$\displaystyle \left[\begin{array}{cc}|\mathbf{B}| \mathbf{A}^{*} & -\mathbf{B}^{*} \mathbf{A}^{*} \\ \mathbf{O} & |\mathbf{A}| \mathbf{B}^{*}\end{array}\right]$ ． D$\displaystyle \left[\begin{array}{cc}|\mathbf{A}| \mathbf{B}^{*} & -\mathbf{A}^{*} \mathbf{B}^{*} \\ \mathbf{O} & |\mathbf{B}| \mathbf{A}^{*}\end{array}\right]$. |
| 6 | 选择题 | 二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{1}+x_{3}\right)^{2}-4\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}$ 的规范形为A$\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ． B$\displaystyle y_{1}^{2}-y_{2}^{2}$ ． C$\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-4 y_{3}^{2}$ ． D$\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ． |
| 7 | 选择题 | 已知向量 $\displaystyle \alpha_1=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$，$\displaystyle \alpha_2=\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$，$\displaystyle \beta_1=\begin{pmatrix}2 \\ 5 \\ 9\end{pmatrix}$，$\displaystyle \beta_2=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$。若 $\displaystyle \gamma$ 既可由 $\displaystyle \alpha_1, \alpha_2$ 线性表示，也可由 $\displaystyle \beta_1, \beta_2$ 线性表示，则 $\displaystyle \gamma=$A$\displaystyle k\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}, k \in \mathbf{R}$ B$\displaystyle k\begin{pmatrix}3 \\ 5 \\ 10\end{pmatrix}, k \in \mathbf{R}$ C$\displaystyle k\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}, k \in \mathbf{R}$ D$\displaystyle k\begin{pmatrix}1 \\ 5 \\ 8\end{pmatrix}, k \in \mathbf{R}$ |
| 8 | 选择题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 服从参数为 1 的泊松分布，则 $\displaystyle E(|X-E X|)=$A$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}$ ． B$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． C$\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}}$ ． D$\displaystyle 1$ ． |
| 9 | 选择题 | 设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $\displaystyle N\left(\mu_{1}, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，$\displaystyle Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{m}$ 为来自总体 $\displaystyle N\left(\mu_{2}\right.$ ， $\displaystyle \left.2 \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，且两样本相互独立．记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, \bar{Y}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} Y_{i}, S_{1}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}\right. -\bar{X})^{2}, S_{2}^{2}=\frac{1}{m-1} \sum_{i=1}^{m}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}$ ，则A$\displaystyle \frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} \sim F(n, m)$ ． B$\displaystyle \frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} \sim F(n-1, m-1)$ ． C$\displaystyle \frac{2 S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} \sim F(n, m)$ ． D$\displaystyle \frac{2 S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} \sim F(n-1, m-1)$ ． |
| 10 | 选择题 | 设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 为来自总体 $\displaystyle N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，其中 $\displaystyle \sigma(\sigma\gt 0)$ 是未知参数．记 $\displaystyle \hat{\sigma}=a \mid X_{1}- X_{2} \mid$ ，若 $\displaystyle E(\hat{\sigma})=\sigma$ ，则 $\displaystyle a=$A$\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ． B$\displaystyle \frac{\sqrt{2 \pi}}{2}$ ． C$\displaystyle \sqrt{\pi}$ ． D$\displaystyle \sqrt{2 \pi}$ ． |
| 11 | 填空题 | $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} x^{2}\left(2-x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 12 | 填空题 | 已知函数 $\displaystyle f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \mathrm{d} f(x, y)=\frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}, f(1,1)=\frac{\pi}{4}$ ，则 $\displaystyle f(\sqrt{3}, 3)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 13 | 填空题 | $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 14 | 填空题 | 设某公司在 $\displaystyle t$ 时刻的资产为 $\displaystyle f(t)$ ，从 0 时刻到 $\displaystyle t$ 时刻的平均资产等于 $\displaystyle \frac{f(t)}{t}-t$ ．假设 $\displaystyle f(t)$ 连续且 $\displaystyle f(0)=0$ ，则 $\displaystyle f(t)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 15 | 填空题 | 已知线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a x_{1}+x_{3}=1, \\ x_{1}+a x_{2}+x_{3}=0, \\ x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0, \\ a x_{1}+b x_{2}=2\end{array}\right.$ 有解，其中 $\displaystyle a, b$ 为常数．若 $\displaystyle \left|\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}\right|=4$ ，则 $\displaystyle \left|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right|=$$\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 16 | 填空题 | 设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，且 $\displaystyle X \sim B(1, p), Y \sim B(2, p), p \in(0,1)$ ，则 $\displaystyle X+Y$ 与 $\displaystyle X-Y$ 的相关系数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 17 | 解答题 | （本题满分 10 分）
已知可导函数 $\displaystyle y=y(x)$ 满足 $\displaystyle a \mathrm{e}^{x}+y^{2}+y-\ln (1+x) \cos y+b=0$ ，且 $\displaystyle y(0)=0, y^{\prime}(0)=0$ ．（I）求 $\displaystyle a, b$ 的值；（II）判断 $\displaystyle x=0$ 是否为 $\displaystyle y(x)$ 的极值点． |
| 18 | 解答题 | （本题满分 12 分）
已知平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant \frac{1}{x \sqrt{1+x^{2}}}\right., x \geqslant 1\right\}$ ．（I）求 $\displaystyle D$ 的面积；（II）求 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转所成旋转体的体积． |
| 19 | 解答题 | （本题满分 12 分）
已知平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ，计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D}\left|\sqrt{x^{2}+y^{2}}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ． |
| 20 | 解答题 | （本题满分 12 分）
设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上具有 2 阶连续导数，证明：（I）若 $\displaystyle f(0)=0$ ，则存在 $\displaystyle \xi \in(-a, a)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{1}{a^{2}}[f(a)+f(-a)]$ ；（II）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-a, a)$ 内取得极值，则存在 $\displaystyle \eta \in(-a, a)$ ，使得 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\eta)\right| \geqslant \frac{1}{2 a^{2}}|f(a)-f(-a)|$ ． |
| 21 | 解答题 | （本题满分 12 分）
设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 满足：对任意 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 均有 $\displaystyle \mathbf{A}\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3} \\ x_{2}-x_{3}\end{array}\right)$ ．（I）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ ；（II）求可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ 与对角矩阵 $\displaystyle \mathbf{\L\lambda}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}=\mathbf{\L\lambda}$ ． |
| 22 | 解答题 | （本题满分 12 分）
设随机变量 $\displaystyle X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}},-\infty\lt x\lt+\infty$ ，令 $\displaystyle Y=\mathrm{e}^{X}$ ．（I）求 $\displaystyle X$ 的分布函数；（II）求 $\displaystyle Y$ 的概率密度；（III）$\displaystyle Y$ 的期望是否存在？ |