2023年 数学二 真题

共22题

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#题型题目
1选择题函数 $\displaystyle y=\frac{x}{e} \ln(e^x)$ 的斜渐近线方程为
A$\displaystyle y=x+e$
B$\displaystyle y=x+\frac{1}{e}$
C$\displaystyle y=x$
D$\displaystyle y=x-\frac{1}{e}$
2选择题2．函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, & x \leqslant 0, \\ (x+1) \cos x, & x>0\end{array}\right.$ 的一个原函数为
A$\displaystyle F(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right), & x \leqslant 0, \\ (x+1) \cos x-\sin x, & x>0\end{cases}$
B$\displaystyle F(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+1, & x \leqslant 0, \\ (x+1) \cos x-\sin x, & x>0\end{cases}$
C$\displaystyle F(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right), & x \leqslant 0, \\ (x+1) \sin x+\cos x, & x>0\end{cases}$
D$\displaystyle F(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)+1, & x \leqslant 0, \\ (x+1) \sin x+\cos x, & x>0\end{cases}$
3选择题已知 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle x_{1}=y_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\sin x_{n}, y_{n+1}=y_{n}^{2}(n=1,2, \cdots)$ ，则当 $\displaystyle n \rightarrow \infty$ 时，
A$\displaystyle x_{n}$ 是 $\displaystyle y_{n}$ 的高阶无穷小
B$\displaystyle y_{n}$ 是 $\displaystyle x_{n}$ 的高阶无穷小
C$\displaystyle x_{n}$ 与 $\displaystyle y_{n}$ 是等价无穷小
D$\displaystyle x_{n}$ 与 $\displaystyle y_{n}$ 是同阶但不等价的无穷小
4选择题若微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界，则
A$\displaystyle a\lt 0, b\gt 0$
B$\displaystyle a\gt 0, b\gt 0$
C$\displaystyle a=0, b\gt 0$
D$\displaystyle a=0, b\lt 0$
5选择题设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 由 $\displaystyle \begin{cases}x=2t+|t| \\ y=|t|\sin t\end{cases}$ 确定，则
A$\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle f'(0)$ 不存在
B$\displaystyle f'(0)$ 存在，$\displaystyle f'(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处不连续
C$\displaystyle f'(x)$ 连续，$\displaystyle f''(0)$ 不存在
D$\displaystyle f''(0)$ 存在，$\displaystyle f''(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处不连续
6选择题若函数 $\displaystyle f(\alpha)=\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{\alpha+1}}$ 在 $\displaystyle \alpha=\alpha_{0}$ 处取得最小值，则 $\displaystyle \alpha_{0}=$
A$\displaystyle -\frac{1}{\ln (\ln 2)}$
B$\displaystyle -\ln (\ln 2)$
C$\displaystyle \frac{1}{\ln 2}$
D$\displaystyle \ln 2$
7选择题设函数 $\displaystyle f(x)=\left(x^{2}+a\right) \mathrm{e}^{x}$ ，若 $\displaystyle f(x)$ 没有极值点，但曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 有拐点，则 $\displaystyle \alpha$ 的取值范围是 （ ）
A$\displaystyle [0,1)$
B$\displaystyle [1,+\infty)$
C$\displaystyle [1,2)$
D$\displaystyle [2,+\infty)$
8选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 为 $\displaystyle n$ 阶可逆矩阵， $\displaystyle \mathbf{E}$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵， $\displaystyle \mathbf{M}^{*}$ 为矩阵 $\displaystyle \mathbf{M}$ 的伴随矩阵，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}\mathbf{A} & \mathbf{E} \\ \mathbf{O} & \mathbf{B}\end{array}\right)^{*}=($
A$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}|\mathbf{A}| \mathbf{B}^{*} & -\mathbf{B}^{*} \mathbf{A}^{*} \\ \mathbf{O} & |\mathbf{B}| \mathbf{A}^{*}\end{array}\right)$
B$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}|\mathbf{A}| \mathbf{B}^{*} & -\mathbf{A}^{*} \mathbf{B}^{*} \\ \mathbf{O} & |\mathbf{B}| \mathbf{A}^{*}\end{array}\right)$
C$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}|\mathbf{B}| \mathbf{A}^{*} & -\mathbf{B}^{*} \mathbf{A}^{*} \\ \mathbf{O} & |\mathbf{A}| \mathbf{B}^{*}\end{array}\right)$
D$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}|\mathbf{B}| \mathbf{A}^{*} & -\mathbf{A}^{*} \mathbf{B}^{*} \\ \mathbf{O} & |\mathbf{A}| \mathbf{B}^{*}\end{array}\right)$
9选择题二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{1}+x_{3}\right)^{2}-4\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}$ 的规范形为
A$\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$
B$\displaystyle y_{1}^{2}-y_{2}^{2}$
C$\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-4 y_{3}^{2}$
D$\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$
10选择题已知向量 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \mathbf{\beta}_{1}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 9\end{array}\right), \mathbf{\beta}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ．若 $\displaystyle \mathbf{\gamma}$ 既可由 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$ 线性表示，也可由 $\displaystyle \mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}$ 线性表示，则 $\displaystyle \mathbf{\gamma}=$
A$\displaystyle k\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), k \in \mathbb{R}$
B$\displaystyle k\left(\begin{array}{c}3 \\ 5 \\ 10\end{array}\right), k \in \mathbb{R}$
C$\displaystyle k\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), k \in \mathbb{R}$
D$\displaystyle k\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 8\end{array}\right), k \in \mathbb{R}$
11填空题当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时，函数 $\displaystyle f(x)=a x+b x^{2}+\ln (1+x)$ 与 $\displaystyle g(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}-\cos x$ 是等价无穷小，则 $\displaystyle a b=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
12填空题曲线 $\displaystyle y=\int_{-\sqrt{3}}^{x} \sqrt{3-t^{3}} \mathrm{~d} t$ 的㼋长为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由 $\displaystyle \mathrm{e}^{z}+x z=2 x-y$ 确定，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\right|_{(1,1)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题曲线 $\displaystyle 3 x^{3}=y^{5}+2 y^{3}$ 在 $\displaystyle x=1$ 对应点处的法线斜率为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
15填空题设连续函数 $\displaystyle f(x)$ 满足：$\displaystyle f(x+2)-f(x)=x, \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle \int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
16填空题已知线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a x_{1}+x_{3}=1 \\ x_{1}+a x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0 \\ a x_{1}+b x_{2}=2\end{array}\right.$ 有解，其中 $\displaystyle a, b$ 为常数．若 $\displaystyle \left|\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}\right|=4$ ，则 $\displaystyle \left|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
17解答题设曲线 $\displaystyle L: y=y(x)(x\gt\mathrm{e})$ 经过点 $\displaystyle \left(\mathrm{e}^{2}, 0\right), L$ 上任一点 $\displaystyle P(x, y)$ 到 $\displaystyle y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $\displaystyle y$ 轴上的截距。（1）求 $\displaystyle y(x)$ ；（2）在 $\displaystyle L$ 上求一点，是该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小，并求此最小面积．
18解答题（本题满分 12 分） 求函数 $\displaystyle f(x, y)=x \mathrm{e}^{\cos y}+\frac{x^{2}}{2}$ 的极值．
19解答题（本题满分 12 分） 已知平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant \frac{1}{x \sqrt{1+x^{2}}}\right., x \geqslant 1\right\}$ ．（1）求 $\displaystyle D$ 的面积；（2）求 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转所成旋转体的体积．
20解答题设平面有界区域 $\displaystyle D$ 位于第一象限，由曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-x y=1, x^{2}+y^{2}-x y=2$ 与直线 $\displaystyle y= $\sqrt{3} x, y=0$\displaystyle 围成，计算 $\iint_{D} \frac{1}{3 x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
21解答题设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上具有 2 阶连续导数．证明：（1）若 $\displaystyle f(0)=0$ ，则存在 $\displaystyle \xi \in(-a, a)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{1}{a^{2}}[f(a)+f(-a)]$ ．（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-a, a)$ 内取得极值，则存在 $\displaystyle \eta \in(-a, a)$ ，使得 $$ \left|f^{\prime \prime}(\eta)\right| \geqslant \frac{1}{2 a^{2}}|f(a)-f(-a)|$$
22解答题（本题满分 12 分） 设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 满足：对任意 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 均有 $\displaystyle \mathbf{A}\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3} \\ x_{2}-x_{3}\end{array}\right)$ ．（1）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ ；（2）求可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ 与对角矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}=\mathbf{\Lambda}$ ．