| 1 | 选择题 | 已知函数 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{\cos t} \mathrm{~d} t$, $\displaystyle g(x)=\int_{0}^{\sin x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t$，则A$\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为奇函数， $\displaystyle \mathrm{g}(\mathrm{x})$ 为偶函数 B$\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为偶函数， $\displaystyle \mathrm{g}(\mathrm{x})$ 为奇函数 C$\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 与 $\displaystyle \mathrm{g}_{(\mathrm{x})}$ 均为奇函数 D$\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 与 $\displaystyle \mathrm{g}_{(\mathrm{x})}$ 均为周期函数 |
| 2 | 选择题 | 设 $\displaystyle P=P(x, y, z), Q=Q(x, y, z)$ 均为连续函数，$\displaystyle \Sigma$ 为曲面 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^2-y^2}(x \leq 0, y \geq 0)$ 的上侧，则 $\displaystyle \iint_{\Sigma} P d y d z+Q d z d x=(\quad)$A$\displaystyle \iint_{\Sigma}\left(\frac{x}{z} P+\frac{y}{z} Q\right) d x d y$ B$\displaystyle \iint_{\Sigma}\left(-\frac{x}{z} P+\frac{y}{z} Q\right) d x d y$ C$\displaystyle \iint_{\Sigma}\left(\frac{x}{z} P-\frac{y}{z} Q\right) d x d y$ D$\displaystyle \iint_{\Sigma}\left(-\frac{x}{z} P-\frac{y}{z} Q\right) d x d y$ |
| 3 | 选择题 | 已知幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数为 $\displaystyle \ln(2+x)$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} n a_{2n}=$A$\displaystyle -\frac{1}{6}$ B$\displaystyle -\frac{1}{3}$ C$\displaystyle \frac{1}{6}$ D$\displaystyle \frac{1}{3}$ |
| 4 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内有定义， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ，则 |
| 5 | 选择题 | 在空间直角坐标系 $\displaystyle O-xyz$ 中，三张平面 $\displaystyle _i: a_i x + b_i y + c_i z = d_i (i=1,2,3)$ 位置关系如图所示，记 $\displaystyle \alpha_i=(a_i, b_i, c_i), \beta_i=(a_i, b_i, c_i, d_i)$ ，若 $\displaystyle r\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{pmatrix}=m, r\begin{pmatrix}\beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3\end{pmatrix}=n$ ，则A$\displaystyle m=1, n=2$ B$\displaystyle m=n=2$ C$\displaystyle m=2, n=3$ D$\displaystyle m=n=3$ |
| 6 | 选择题 | 设向量 $\displaystyle \alpha_1=\begin{pmatrix}a \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}, \alpha_2=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ b \\ a\end{pmatrix}, \alpha_3=\begin{pmatrix}1 \\ a \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$ ，若 $\displaystyle \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则A$\displaystyle a=1, b \neq -1$ B$\displaystyle a=1, b=-1$ C$\displaystyle a \neq -2, b=2$ D$\displaystyle a=-2, b=2$ |
| 7 | 选择题 | 3阶矩阵 $\displaystyle A$ 的秩为 2 ，非零向量 $\displaystyle \alpha$ 满足 $\displaystyle A\alpha=0$ ，任意向量 $\displaystyle \beta$ ，使得 $\displaystyle \beta^T \alpha=0$ ，且 $\displaystyle A\beta=\beta$ ，则下列结论正确的是A$\displaystyle A^3$ 的迹为 2 B$\displaystyle A^3$ 的迹为 5 C$\displaystyle A^5$ 的迹为 7 D$\displaystyle A^5$ 的迹为 9 |
| 8 | 选择题 | 设随机变量 X 与 Y 独立， X 服从 $\displaystyle \mathrm{N}(0,2)$ 的正态分布， Y 服从 $\displaystyle \mathrm{N}(-2,2)$ 的正态分布，若 $\displaystyle \mathrm{P}\{2 \mathrm{X}+\mathrm{Y}\lt\mathrm{a}\}=\mathrm{P}\{\mathrm{X}\gt\mathrm{Y}\}$ ，则 $\displaystyle \mathrm{a}=$A$\displaystyle -2-\sqrt{10}$ B$\displaystyle -2+\sqrt{10}$ C$\displaystyle -2-\sqrt{6}$ D$\displaystyle -2+\sqrt{6}$ |
| 9 | 选择题 | 设陋机交量 X 的概率密度为 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{ll}2(1-\mathrm{x}), & 0\lt\mathrm{x}\lt 1 \\ 0, & \text { 其佁 }\end{array}\right.$ ，在 $\displaystyle \mathrm{X}=\mathrm{x}$ 的条件下， Y 在区间 $\displaystyle (\mathrm{x}, 1)$ 上馭从均匀分布，则 $\displaystyle \operatorname{cov}(\mathrm{X}, \mathrm{Y})=$A$\displaystyle -\frac{1}{36}$ B$\displaystyle -\frac{1}{72}$ C$\displaystyle \frac{1}{72}$ D$\displaystyle \frac{1}{36}$ |
| 10 | 选择题 | 设随机变量 $\displaystyle \mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 相互独立，且均服从参数为 $\displaystyle \lambda$ 的指数分布，令 $\displaystyle \mathrm{Z}=|\mathrm{X}-\mathrm{Y}|$ ，则下列随机变量与 Z 同分布的是A$\displaystyle \mathrm{X}+\mathrm{Y}$ B$\displaystyle \frac{X+Y}{2}$ C2 X DX |
| 11 | 填空题 | 若 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\left(1+ax^2\right)^{\sin x}-1}{x^3}=6$ ，则 $\displaystyle a=$ |
| 12 | 填空题 | $\displaystyle z=f(u, v)$ 有二阶连续导数，$\displaystyle \left.\mathrm{d} f\right|_{(1,1)}=3 \mathrm{~d} u+4 \mathrm{~d} v$ ，
$$
y=f\left(\cos x, 1+x^{2}\right) \text {, 则 }\left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{x=0}=$$ |
| 13 | 填空题 | 根据题目开头信息，这应该是2024年考研数学一第13题填空题，原题内容可能如下（根据常见傅里叶级数题型补全）：
若函数 $\displaystyle f(x)=x+1$ ．若 $\displaystyle f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n \pi x$ ，$\displaystyle x \in[0, \pi]$ ．则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \sin a_{2n-1}=$ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． |
| 14 | 填空题 | 微分方程 $\displaystyle y^{\prime}=\frac{1}{(x+y)^{2}}$ ，满足条件 $\displaystyle y(1)=0$ 的解为． |
| 15 | 填空题 | 设实矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}a+1 & a \\ a & a\end{array}\right)$ ，若对任意实向量 $\displaystyle \alpha=\binom{x_1}{x_2}, \beta=\binom{y_1}{y_2}$ ， $\displaystyle \left(\alpha^T A \beta\right)^2 \leq \alpha^T A \alpha \cdot \beta^T A \beta$ 都成立，则 $\displaystyle a$ 的取值范围是 $\displaystyle \_\_\_\_$ |
| 16 | 填空题 | 随机试验每次成功的概率为 P ，现进行三次独立重复实险，已知至少成功一次的条件下全部成功概率为 $\displaystyle \frac{4}{13}$ ，现 $\displaystyle \mathrm{P}=$ |
| 17 | 解答题 | 已知平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid \sqrt{1-y^{2}} \leq x \leq 1,-1 \leq y \leq 1\right\}$ ，计算 $\displaystyle \iint_{D} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} \sigma$ ． |
| 18 | 解答题 | 设 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{X}, \mathrm{y})=\mathrm{x}^{3}+\mathrm{y}^{3}-(\mathrm{x}+\mathrm{y})^{2}+3$ ，曲面 $\displaystyle \mathrm{z}=\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ 在 $\displaystyle (1,1,1)$ 处的切平面为 $\displaystyle \mathrm{T}, \mathrm{T}$ 与三个坐标面所围有界区域在 xoy 面的设影为 D
（1）求 T 的方程（2）求 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上的最大值和最小值 |
| 19 | 解答题 | （本题满分 12 分）
设函数 $\displaystyle f(x)$ 具有 2 阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$ ，证明：（1）当 $\displaystyle x \in(0,1)$ 时，$\displaystyle |f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2}$；（2）$\displaystyle \left|\int_0^1 f(x) d x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}$ |
| 20 | 解答题 | 根据题目开头信息，这应是一道完整的解答题，通常考研数学解答题只有一问。因此补全后的完整题目如下：
已知有向曲线 $\displaystyle L$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 x$ 与平面 $\displaystyle 2 x-z-1=0$ 的交线从 $\displaystyle z$ 轴正向往 $\displaystyle z$ 轴负向看去为逆时针方向，计算曲线积分 $\displaystyle \int_{L}\left(6 x y z-y z^{2}\right) d x+2 x^{2} z d y+x y z d z$。 |
| 21 | 解答题 | 21．已知数列 $\displaystyle \left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\},\left\{z_n\right\}$ 满足 $\displaystyle x_0=-1, y_0=0, z_0=2$ ，且 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_n=-2 x_{n-1}+2 z_{n-1}, \\ y_n=-2 y_{n-1}-2 z_{n-1}, \\ x_n=-6 x_{n-1}-3 y_{n-1}+3 z_{n-1},\end{array}\right.$记 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_n=\left(x_n, y_n, z_n\right)^{\mathrm{T}}$ ．写出满足 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_n=\mathbf{A} \mathbf{\alpha}_{n-1}$ 的矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ ，并求 $\displaystyle \mathbf{A}^n$ 及 $\displaystyle x_n, y_n, z_n$ ． |
| 22 | 解答题 | 设总体 $\displaystyle X \sim U(0, \theta), ~ \theta$ 木知，$\displaystyle X_{1}, X_{2} \cdots X_{n}$ 为简单掋机样本， $\displaystyle X_{(n)}=\max \left(X_{1}, X_{2} \cdots X_{n}\right), \quad T_{c}=c X_{(n)}$.（1）求 $\displaystyle c$ 时，使得 $\displaystyle T_{c}$ 为 $\displaystyle \theta$ 的无偏估计。（2）记 $\displaystyle h(c)=E\left(T_{e}-\theta\right)^{2}$ ，求 $\displaystyle c$ 使得 $\displaystyle h(c)$ 取最小值． |