2024年 数学三 真题

共22题

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#题型题目
1选择题已知函数 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+x}{1+n x^{2 n}}$ ，则 【答案】 D
2选择题积分 $\displaystyle \int_{a}^{a+k \pi}|\sin x| d x$ 【答案】B **答案**: B
3选择题交换积分次序 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} d x \int_{\sin x}^{1} f(x, y) d y$ 则 【答案】A
4选择题已知 $\displaystyle \ln (2+x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} n a_{2 n}=$
A$\displaystyle -\frac{1}{6}$
B$\displaystyle -\frac{1}{3}$
C$\displaystyle \frac{1}{6}$
D$\displaystyle \frac{1}{3}$
5选择题设二次型在正交变换下的标准型为 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=y_{1}^{2}-2 y_{2}^{2}+3 y_{3}^{2}$ ，则 【答案】 C （行列式为 -6 ，迹为 2 ）
6选择题【答案】C **答案**: C
7选择题【答案】 $\displaystyle \mathrm{C}\left(a=0, a=\frac{3}{2}\right)$ **答案**: $\displaystyle \mathrm{C}\left(a=0, a=\frac{3}{2}\right)$
8选择题$\displaystyle E\left[(X-E x)^{3}\right]=$ 【答案】 0 **答案**: 0
9选择题【答案】 $\displaystyle \mathrm{B}\left(p_{2}>p_{1}>\frac{1}{2}\right)$
10选择题设随机变量 $\displaystyle X, Y$ 相互独立，且均服从参数为 $\displaystyle \lambda$ 的指数分布，令 $\displaystyle Z=|X-Y|$ ，则下列随机变量与 $\displaystyle Z$同分布的是
A$\displaystyle X+Y$
B$\displaystyle \frac{X+Y}{2}$
C$\displaystyle 2 X$
11填空题【答案】3 **答案**: 3
12填空题$\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{5}{x^{4}+3 x^{2}-4}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$【答案】 $\displaystyle \frac{1}{2} \ln 3-\frac{\pi}{8}$
13填空题函数 $\displaystyle f(x, y)=2 x^{3}-9 x^{2}-6 y^{4}+12 x+24 y$ 的极值点是 $\displaystyle \_\_\_\_$【答案】 $\displaystyle (1,1)$
14填空题【答案】 50 **答案**: 50
15填空题【答案】16 **答案**: 16
16填空题【答案】 $\displaystyle \frac{2}{3}$三、解答题： $\displaystyle 17 \sim 22$ 小题，共 70 分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． **答案**: $\displaystyle \frac{2}{3}$
17解答题已知区域 $\displaystyle D$ 是第一象限内的有界区域，它由 $\displaystyle x y=\frac{1}{3}, x y=3, y=\frac{1}{3} x, y=3 x$ 围成， 计算 $\displaystyle \iint_{D}(1+x-y) d x d y$ 【答案】 $\displaystyle \frac{8}{3} \ln 3$
18解答题已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle z+e^{x}+y \ln \left(1+z^{2}\right)=0$ 确定，求 $\displaystyle \left(\frac{\partial^{2} z}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} z}{\partial^{2} y}\right)_{(0,0)}$ 【答案】 $\displaystyle -1-2 \ln 2$
19解答题已知 $\displaystyle t>0$ ，曲线 $\displaystyle y=x e^{-2 x}$ 与 $\displaystyle x=t, x=2 t$ 及 $\displaystyle x$ 轴所围的面积为 $\displaystyle S(t)$ ，求 $\displaystyle S(t)$ 的最大值 【答案】 $\displaystyle \frac{\ln 2}{16}+\frac{3}{64}$ \section*{
20解答题} 设函数 $\displaystyle f(x)$ 有 2 阶导数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$（1）当 $\displaystyle x \in(0,1)$ 时，$\displaystyle |f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2}$（2）$\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) d x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}$ 【答案】（1）泰勒公式展开（2）分部积分或泰勒公式 \section*{
21解答题} 【答案】（1）$\displaystyle A x=\alpha$ 是 $\displaystyle B x=\beta$ 的解（2）$\displaystyle a=1$ \section*{
22解答题} 设总体 $\displaystyle X$ 服从 $\displaystyle [0, \theta]$ 上的均匀分布，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为总体的简单随机样本，记$\displaystyle X_{(n)}=\max \left\{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right\}, \quad T_{c}=c X_{(n)}$（1）求 $\displaystyle c$ ，使得 $\displaystyle E\left(T_{c}\right)=\theta$（2）记 $\displaystyle h(c)=E\left(T_{c}-\theta\right)^{2}=\theta$ ，求 $\displaystyle c$ ，使得 $\displaystyle h(c)$ 最小