2024年 数学二 真题

共22题

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#题型题目
1选择题函数 $\displaystyle f(x)=|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$ 的第一类间断点的个数为
A3
B2
C1
D0
2选择题已知 $\displaystyle \begin{cases}x=1+t^3 \\ y=e^{t^2}\end{cases}$ ，则 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x\left[f\left(2+\frac{2}{x}\right)-f(2)\right]=$
A$\displaystyle 2e$
B$\displaystyle \frac{4}{3}e$
C$\displaystyle \frac{2}{3}e$
D$\displaystyle \frac{e}{3}$
3选择题已知 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{\sin x} \sin t^{3} d t, g(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t$ ，则
A$\displaystyle f(x)$ 为奇函数，$\displaystyle g(x)$ 为奇函数
B$\displaystyle f(x)$ 为奇函数，$\displaystyle g(x)$ 为偶函数
C$\displaystyle f(x)$ 为偶函数，$\displaystyle g(x)$ 为偶函数
D$\displaystyle f(x)$ 为偶函数，$\displaystyle g(x)$ 为奇函数
4选择题已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}\left(a_{n} \neq 0\right)$ ，若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 发散，则 ．
A$\displaystyle \left\{a_{n}+\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 发散
B$\displaystyle \left\{a_{n}-\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 发散
C$\displaystyle \left\{e^{a_{n}}+\frac{1}{e^{a_{n}}}\right\}$ 发散
D$\displaystyle \left\{e^{a_{n}}-\frac{1}{e^{a_{n}}}\right\}$ 发散
5选择题已知函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x y}, & x y \neq 0 \\ 0, & x y=0\end{array}\right.$ ，则在点 $\displaystyle (0,0)$ 处 ．
A$\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ 连续，$\displaystyle f(x, y)$ 可微
B$\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ 连续，$\displaystyle f(x, y)$ 不可微
C$\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ 不连续，$\displaystyle f(x, y)$ 可微
D$\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ 不连续，$\displaystyle f(x, y)$ 不可微
6选择题设 $\displaystyle f(x, y)$ 是连续函数，则 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} d x \int_{\sin x}^{1} f(x, y) d y=$ ．
A$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{1} d y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) d x$
B$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{1} d y \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x, y) d x$
C$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} d y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) d x$
D$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} d y \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x, y) d x$
7选择题设非负函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，给定以下三个命题：（1）若 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) d x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛；（2）若存在 $\displaystyle p\gt 1$ ，使极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)$ 存在，则 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛；（3）若 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛，则存在 $\displaystyle p\gt 1$ ，使极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)$ 存在； 其中正确的个数是
A0
B1
C2
D3
8选择题设 $\displaystyle A$ 为三阶矩阵，$\displaystyle P=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，若 $\displaystyle P^{T} A P^{2}=\left(\begin{array}{ccc}a+2 c & 0 & c \\ 0 & b & 0 \\ 2 c & 0 & c\end{array}\right)$ ，则矩阵 $\displaystyle A$ 为
A$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}c & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$
B$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$
C$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array}\right)$
D$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}c & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$
9选择题设 $\displaystyle A$ 为四阶矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 为 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵，若 $\displaystyle A\left(A-A^{*}\right)=O$ ，且 $\displaystyle A \neq A^{*}$ ，则 $r
A0 或 1
B1 或 3
C2 或 3
D1 或 2
10选择题设 $\displaystyle A, B$ 均为 2 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=B A$ ，则＂$\displaystyle A$ 有两个不相等的特征值＂是＂$\displaystyle B$ 可对角化＂的
A充要条件
B充分非必要条件
C必要非充分条件
D既非充分又非必要条件
11填空题曲线 $\displaystyle y^{2}=x$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的曲率圆方程为 $\displaystyle \_\_\_\_$
12填空题函数 $\displaystyle f(x, y)=2 x^{3}-9 x^{2}-6 y^{4}+12 x+24 y$ 的极值点是 $\displaystyle \_\_\_\_$
13填空题微分方程 $\displaystyle y^{\prime}=\frac{1}{(x+y)^{2}}$ 满足初始条件 $\displaystyle y(1)=0$ 的解为 $\displaystyle \_\_\_\_$
14填空题已知函数 $\displaystyle f(x)=x^{2}\left(e^{x}-1\right)$ ，则 $\displaystyle f^{(5)}(1)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$
15填空题某物体以速度 $\displaystyle v(t)=t+k \sin \pi t$ 做直线运动，若它从 $\displaystyle t=0$ 到 $\displaystyle t=3$ 的时间段内平均速度是 $\displaystyle \frac{5}{2}$ ，则 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$
16填空题设向量 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}a \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ b \\ a\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ a \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ ，若 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则 $\displaystyle a b=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ 三、解答题：（17－22 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17解答题设平面有界区域 $\displaystyle D$ 位于第一象限，由曲线 $\displaystyle x y=\frac{1}{3}, x y=3$ 与直线 $\displaystyle y=\frac{1}{3} x, y=3 x$ 围成，计算 $\displaystyle \iint_{D}(1+x-y) d x d y$
18解答题设 $\displaystyle y=y(x)$ 满足方程 $\displaystyle x y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-9 y=0$ ，且 $\displaystyle \left.y\right|_{x=1}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=6$（1）利用变换 $\displaystyle x=e^{t}$ 化简方程，并求 $\displaystyle y(x)$ 的表达式（2）求 $\displaystyle \int_{1}^{2} y(x) \sqrt{4-x^{2}} d x$
19解答题设 $\displaystyle t\gt 0$ ，求曲线 $\displaystyle y=\sqrt{x} e^{-x}$ 与直线 $\displaystyle x=t, x=2 t$ 及 $\displaystyle x$ 轴所围平面图形，绕 $\displaystyle x$ 轴旋转所得的旋转体体积为 $\displaystyle V(t)$ ，求 $\displaystyle V(t)$ 的最大值．
20解答题设 $\displaystyle f(u, v)$ 具有二阶连续偏导，$\displaystyle g(x, y)=f(2 x+y, 3 x-y)$ ，且 $\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}-6 \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=1$（1）求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}$（2）若 $\displaystyle \frac{\partial f(u, 0)}{\partial u}=u e^{-u}$ ，且 $\displaystyle f(0, v)=\frac{1}{50} v^{2}-1$ ，求 $\displaystyle f(u, v)$ 的表达式
21解答题（本题满分 12 分） 设函数 $\displaystyle f(x)$ 具有 2 阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$ ，证明：（1）当 $\displaystyle x \in(0,1)$ 时，$\displaystyle |f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2}$；（2）$\displaystyle \left|\int_0^1 f(x) d x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}$
22解答题设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1 \\ b & 2\end{array}\right)$, 二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{T} B A x$已知方程组 $\displaystyle A x=0$ 的解是 $\displaystyle B^{T} x=0$ 的解，但两个方程组不同解。（1）求 $\displaystyle a, b$ 的值，（2）求正交矩阵 $\displaystyle x=Q y$ 将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形