2025年 数学一 真题

共22题

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#题型题目
1选择题已知函数 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{2}} \sin t d t, g(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t \cdot \sin ^{2} x$ ，则
A$\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，也是 $\displaystyle g(x)$ 的极值点
B$\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，$\displaystyle (0,0)$ 是曲线 $\displaystyle y=g(x)$ 的拐点
C$\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，$\displaystyle (0,0)$ 是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点
D$\displaystyle (0,0)$ 是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点，也是曲线 $\displaystyle y=g(x)$ 的拐点
2选择题已知级数：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{n^{3} \pi}{n^{2}+1}$ ；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}-\tan \frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}\right)$ ，则
A（1）与（2）均条件收敛
B（1）条件收敛，（2）绝对收玫
C（1）绝对收敛， （2）条件收敛
D（1）与 （2）均绝对收敛
3选择题设数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，则
A当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在
B当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
C当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} f(t) d t}{x}$ 存在时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
D当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} f(t) d t}{x}$ 存在
4选择题设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 连续，则 $\displaystyle \int_{-2}^{2} d x \int_{4-x^{2}}^{4} f(x, y) d y=$
A$\displaystyle \int_{0}^{4}\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\int_{\sqrt{4-y}}^{2} f(x, y) d x\right] d y$
B$\displaystyle \int_{0}^{4}\left[\int_{-2}^{\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\int_{\sqrt{4-y}}^{2} f(x, y) d x\right] d y$
C$\displaystyle \int_{0}^{4}\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\int_{2}^{\sqrt{4-y}} f(x, y) d x\right] d y$
D$\displaystyle 2 \int_{0}^{4} d y\left[\int_{\sqrt{4-y}}^{2} f(x, y) d x\right.$
5选择题二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}$ 的正惯性指数为
A0
B1
C2
D3
6选择题设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $\displaystyle n$ 维向量，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性无关，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性相关，且 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{4}=0$ ，在空间直角坐标系 $\displaystyle O-x y z$ 中，关于 $\displaystyle x, y, z$ 的方程组 $\displaystyle x \alpha_{1}+y \alpha_{2}+z \alpha_{3}=\alpha_{4}$ 的几何图形是
A过原点的一个平面
B过原点的一条直线
C不过原点的一个平面
D不过原点的一条直线
7选择题设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A, B, C$ 满足 $r
A（1）（2）
B（1）（3）
C（2）（4）
D（3）（4）
8选择题设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 服从正态分布 $\displaystyle N(0,0 ; 1,1 ; P)$ ，其中 $\displaystyle P \in(-1,1)$ ，若 $\displaystyle a, b$为满足 $\displaystyle a^{2}+b^{2}=1$ 的任意实数，则 $\displaystyle D(a X+b Y)$ 的最大值为
A1
B2
C$\displaystyle 1+|P|$
D$\displaystyle 1+P^{2}$
9选择题设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{20}$ 是来自总体 $\displaystyle B(1,0.1)$ 的简单随机样本，令 $\displaystyle T=\sum_{i=1}^{20} X_{i}$ ，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得 $\displaystyle P\{\mathrm{~T} \leq 1\} \approx$
A$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}^{2}}$
B$\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}^{2}}$
C$\displaystyle \frac{3}{\mathrm{e}^{2}}$
D$\displaystyle \frac{4}{\mathrm{e}^{2}}$
10选择题设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 为来自正态总体 $\displaystyle N(\mu, 2)$ 的简单随机样本，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}$ ， $\displaystyle Z_{\alpha}$ 表示标准正态分布的上侧 $\displaystyle \alpha$ 分位数，假设检验问题：$\displaystyle H_{0}: \mu \leq 1, H_{1}: \mu\gt 1$的显著性水平为 $\displaystyle \alpha$ 的检验的拒绝域为
A$\displaystyle \left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \left\lvert\, \bar{X}\gt 1+\frac{2}{n} Z_{\alpha}\right.\right\}$
B$\displaystyle \left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \left\lvert\, \bar{X}\gt 1+\frac{\sqrt{2}}{n} Z_{\alpha}\right.\right\}$
C$\displaystyle \left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \left\lvert\, \bar{X}\gt 1+\frac{2}{\sqrt{n}} Z_{\alpha}\right.\right\}$
D$\displaystyle \left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \left\lvert\, \bar{X}\gt 1+\sqrt{\frac{2}{n}} Z_{\alpha}\right.\right\}$
11填空题$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{x}-1}{\ln x \cdot \ln (1-x)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题已知函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0,0 \leq x\lt\frac{1}{2} \\ x^{2}, \frac{1}{2} \leq x \leq 1\end{array}\right.$ 的傅里叶级数为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n \pi x, S(x)$ 为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n \pi x$ 的和函数，则 $\displaystyle S\left(-\frac{7}{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题已知函数 $\displaystyle U(x, y, z)=x y^{2} z^{3}$ ，向量 $\displaystyle n=(2,2,-1)$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial v}{\partial n}\right|_{(1,1,1)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题已知有向曲线 $\displaystyle L$ 是沿抛物线 $\displaystyle y=1-x^{2}$ 从点 $\displaystyle (1,0)$ 到 $\displaystyle (-1,0)$ 的段，则曲线积分$\displaystyle \int_{L}(y+\cos x) d x+(2 x+\cos y) d y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
15填空题设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 2 & -3 \\ a & 3 & -4 \\ b & 5 & -7\end{array}\right)$ ，若方程组 $\displaystyle A^{2} X=0$ 与 $\displaystyle A X=0$ 不同解，则 $\displaystyle a-b=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
16填空题设随机变量 $\displaystyle X$ 服从参数为 1 的泊松分布，随机变量 $\displaystyle Y$ 服从参数为 3 的泊松分布，$\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y-X$ 相互独立，则 $\displaystyle E(XY)=$ \_\_\_\_。
17解答题（本题满分 10 分） 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{(x+1)\left(x^{2}-2 x+2\right)} d x$ ．
18解答题（本题满分 12 分） 已知函数 $\displaystyle f(u)$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内具有二阶导数，记 $\displaystyle g(x, y)=f\left(\frac{x}{y}\right)$ ，若 $\displaystyle g(x, y)$满足$\displaystyle x^{2} \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+x y \frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=1$ ，且 $\displaystyle g(x, x)=1,\left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{(x, x)}=\frac{2}{x}$ ，求 $\displaystyle f(u)$ ．
19解答题（本题满分 12 分） 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，证明：导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内严格单调增加的充分必要条件是：对 $\displaystyle (a, b)$ 内任意的 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，当 $\displaystyle x_{1}\lt x_{2}\lt x_{3}$ 时，$\displaystyle \frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}\lt\frac{f\left(x_{3}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{3}-x_{2}}$
20解答题（本题满分 12 分） 设 $\displaystyle \Sigma$ 是由直线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=0\end{array}\right.$ 绕直线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t \\ z=t\end{array}\right.$（ $\displaystyle t$ 为参数）旋转一周得到的曲面，$\displaystyle \Sigma_{1}$ 是 $\displaystyle \Sigma$ 介于平面$\displaystyle x+y+z=0$ 与 $\displaystyle x+y+z=1$ 之 间 部 分 的 外 侧，计 算 曲 面 积 分 $\displaystyle \iint_{\Sigma_{1}} x d y d z+(y+1) d z d x+(z+2) d x d y$
21解答题（本题满分 12 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & a\end{array}\right)$ ，已知1 是 $\displaystyle A$ 的特征多项式的 重根（1）求 $\displaystyle a$ 的值（2）求所有满足 $\displaystyle A \alpha=\alpha+\beta, A^{2} \alpha=\alpha+2 \beta$ 的非零列向量 $\displaystyle \alpha, \beta$
22解答题（本题满分 12 分） 投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额 $\displaystyle Y$ 与投保人的损失额 $\displaystyle X$ 的关系为$\displaystyle Y=\left\{\begin{array}{r}0, X \leq 100 \\ X-100, X>100\end{array}\right.$ ，设损失事件发生时，投保人的损失额 $\displaystyle X$ 的概率密度为 $$ f(x)=\left\{\begin{array}{r} \frac{2 \times 100^{2}}{(100+x)^{3}}, x>0 \\ 0, x \leq 0 \end{array}\right.$$ \section*{（1）求 $\displaystyle P\{Y>0\}$ 及 $\displaystyle E(Y)$}（2）这种损失事件在一年内发生的次数记为 $\displaystyle N$ ，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为 $\displaystyle M$ ，假设 $\displaystyle N$ 服从参数为 8 的泊松分布，在 $\displaystyle N=n(n \geq 1)$ 的条件下，$\displaystyle M$ 服从二项分布 $\displaystyle B(n, P)$ ，其中 $\displaystyle P=P\{Y>0)$ ，求 $\displaystyle M$ 的概率分布． 一、选择题： $\displaystyle 1 \sim 10$ 小题，每小题 5 分，共 50 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。（1）B $\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，$\displaystyle (0,0)$ 是曲线 $\displaystyle y=g(x)$ 的拐点 （2）B（1）条件收敛，（2）绝对收敛（3） D 当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} f(t) d t}{x}$ 存在（4）A $\displaystyle \int_{0}^{4}\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\int_{\sqrt{4-y}}^{2} f(x, y) d x\right] d y$ （5）B 1 （6）D 不过原点的一条直线 （7）A（1）（2）（8）C $\displaystyle 1+|P|$（9）$\displaystyle \quad \mathrm{C} \quad \frac{3}{\mathrm{e}^{2}}$（10） $\displaystyle \mathrm{D} \quad\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \left\lvert\, \bar{X}>1+\sqrt{\frac{2}{n}} Z_{\alpha}\right.\right\}$