2025年 数学三 真题

共22题

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#题型题目
1选择题当 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时，下列无穷小量中，与 $\displaystyle x$ 等价的是（ ）
A$\displaystyle e^{-\sin x}-1$
B$\displaystyle \sqrt{x+1}-\cos x$
C$\displaystyle 1-\cos \sqrt{2 x}$
D$\displaystyle 1-\frac{\ln (1+x)}{x}$
2选择题已知函数 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{2}} \sin t \mathrm{~d} t, g(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~d} t \cdot \sin ^{2} x$ ，则（ ）
A$\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，也是 $\displaystyle g(x)$ 的极值点
B$\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，$\displaystyle (0,0)$ 是曲线 $\displaystyle y=g(x)$ 的拐点
C$\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，$\displaystyle (0,0)$ 是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点
D$\displaystyle (0,0)$ 是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点，也是曲线 $\displaystyle y=g(x)$ 的拐点
3选择题已知 $\displaystyle k$ 为常数，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left[\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{k}{n^{2}}\right)\right]$（ ）
A绝对收敛
B条件收敛
C发散
D敛散性与 $\displaystyle k$ 的取值相关
4选择题设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} f(x) d x(\quad)$
A$\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) d x$
B$\displaystyle \int_{0}^{1}(1+x) f(x) d x$
C$\displaystyle \int_{0}^{1}(x-1) f(x) d x$
D$\displaystyle \int_{0}^{1}(1-x) f(x) d x$
5选择题已知 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 的矩阵，$\displaystyle \beta$ 是 $\displaystyle m$ 维非零向量。若 $\displaystyle A$ 有 $\displaystyle k$ 阶非零子式，则（ ）
A当 $\displaystyle k=m$ 时 $\displaystyle A x=\beta$ 有解
B当 $\displaystyle k=m$ 时 $\displaystyle A x=\beta$ 无解
C当 $\displaystyle k\lt m$ 时 $\displaystyle A x=\beta$ 有解
D当 $\displaystyle k\lt m$ 时 $\displaystyle A x=\beta$ 无解
6选择题设 $\displaystyle A$ 为 3 阶矩阵，则＂$\displaystyle A^{3}-A^{2}$ 可对角化＂是＂$\displaystyle A$ 可对角化＂的（ ）
A充分但不必要条件
B必要但不充分条件
C充分必要条件
D既不充分也不必要条件
7选择题设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & -a\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & a\end{array}\right)$ ，若 $\displaystyle f(x, y)=|x A+y B|$ 是正定二次型，则 $\displaystyle a$ 的取值范围是（ ）
A$\displaystyle (0,2-\sqrt{3})$
B$\displaystyle (2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3})$
C$\displaystyle (2+\sqrt{3}, 4)$
D$\displaystyle (0,4)$
8选择题设随机变量 $\displaystyle X$ 服从正态分布 $\displaystyle N(-1,1), Y$ 服从正态分布 $\displaystyle N(1,2)$ ，若 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle X+2 Y$ 不相关，则 $\displaystyle X$与 $\displaystyle X-Y$ 的相关系数为（ ）
A$\displaystyle \frac{1}{3}$
B$\displaystyle \frac{1}{2}$
C$\displaystyle \frac{2}{3}$
D$\displaystyle \frac{3}{4}$
9选择题设 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \cdots x_{20}$ 是来自总体 $\displaystyle B(1,0.1)$ 的简单随机样本，令 $\displaystyle T=\sum_{i=1}^{20} x$ ，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得 $\displaystyle P\{T \leq 1\} \approx$（ ）
A$\displaystyle \frac{1}{e^{2}}$
B$\displaystyle \frac{2}{e^{2}}$
C$\displaystyle \frac{3}{e^{2}}$
D$\displaystyle \frac{4}{e^{2}}$
10选择题设总体 $\displaystyle X$ 的均匀分布为 $\displaystyle F(x), X_{1}, X_{2}, \cdots X_{n}$ ，为来自总体 $\displaystyle X$ 的简单随机样本，样本的经验分布函数为 $\displaystyle F_{n}(x)$ ，对于给定的 $\displaystyle x(0
A$\displaystyle F(x)(1-F(x))$
B$\displaystyle (F(x))^{2}$
C$\displaystyle \frac{1}{n} F(x)(1-F(x))$
D$\displaystyle \frac{1}{n}(F(x))^{2}$ \section*{二、填空题： $\displaystyle 11 \sim 16$ 小题，每小题 5 分，共 30 分．}
11填空题设 $\displaystyle g(x)$ 是函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2} \ln \frac{3+x}{3-x}$ 的反函数，则曲线 $\displaystyle y=g(x)$ 的渐近线方程为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
12填空题设 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$ ，则 $\displaystyle a=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
13填空题微分方程 $\displaystyle x y^{\prime}-y+x^{2} e^{x}=0$ 满足条件 $\displaystyle y(1)=-e$ 的解为 $\displaystyle y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
14填空题已知函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由 $\displaystyle z+\ln z-\int_{y}^{x} x e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=1$ 确定，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\right|_{(1,1)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
15填空题已知 $\displaystyle f(x)=\left|\begin{array}{cccc}2 x+1 & 3 & 2 x+1 & 1 \\ 2 x & -3 & 4 x & -2 \\ 2 x+1 & 2 & 2 x+1 & 1 \\ 2 x & -4 & 4 x & -2\end{array}\right|, g(x)=\left|\begin{array}{cccc}2 x+1 & 1 & 2 x+1 & 3 \\ 5 x+1 & -2 & 4 x & -3 \\ 0 & 1 & 2 x+1 & 2 \\ 2 x & -2 & 4 x & -4\end{array}\right|$ ，则方程 $\displaystyle f(x)=g(x)$的不同的根的个数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
16填空题设 $\displaystyle A 、 B 、 C$ 为三个随机事件，且 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 相互独立，$\displaystyle B$ 与 $\displaystyle C$ 相互独立，$\displaystyle A$ 与 $\displaystyle C$ 互不相容，已知 $\displaystyle P(A)=P(C)=\frac{1}{4}, P(B)=\frac{1}{2}$ ，则在事件 $\displaystyle A 、 B 、 C$ 至少有一个发生的事件下，$\displaystyle A 、 B 、 C$ 中恰有一个发生的概率为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． \section*{三、解答题： $\displaystyle 17 \sim 22$ 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．}
17解答题（本题满分 10 分） 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{(x+1)\left(x^{2}-2 x+2\right)} d x$ ．
18解答题（本题满分 12 分） 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)-e^{2 \sin x}+1}{\ln (1+x)+\ln (1-x)}=-3$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，并求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ 。
19解答题（本题满分 12 分） 已知平面有界区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid y^{2} \leq x, x^{2} \leq y\right\}$ ，计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D}(x-y+1)^{2} d x d y$ ．
20解答题（本题满分 12 分） 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，证明导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内严格单调增加的充分必要条件是：对 $\displaystyle (a, b)$ 内任意的 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，当 $\displaystyle x_{1}\lt x_{2}\lt x_{3}$ 时，$\displaystyle \frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}\lt\frac{f\left(x_{3}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{3}-x_{2}}$ ．
21解答题（本题满分 12 分） 设矩阵 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccccc}1 & -1 & 3 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -2 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a & 2 & 3\end{array}\right]$ 的秩为 2 ．（1）求 $\displaystyle a$ 的值．（2）求 $\displaystyle A$ 的列向量组的一个极大线性无关组 $\displaystyle \alpha, \beta$ ，并求矩阵 $\displaystyle H$ ，使得 $\displaystyle A=G H$ ，其中$\displaystyle G=(\alpha, \beta)$.
22解答题（本题满分 12 分） 投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额 $\displaystyle Y$ 与投保人的损失额 $\displaystyle X$ 的关系为：$\displaystyle Y=\left\{\begin{array}{c}0, X \leq 100 \\ X-100, X>100\end{array}\right.$, 设损失事件发生时，投保人的损失额 $\displaystyle X$ 概率密度为：$\displaystyle f(x)= \begin{cases}\frac{2 \times 100^{2}}{(100+x)^{3}}, & x>0 \\ 0, & x \leq 0\end{cases}$（I）求 $\displaystyle P\{Y>0\}$ 及 $\displaystyle E Y$ ；（II）这种损失事件在一年内发生的次数记为 $\displaystyle N$ ，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为 $\displaystyle M$ 。假设 $\displaystyle N$ 服从参数为 $\displaystyle \delta$ 的泊松分布，在 $\displaystyle N=n(n \geq 1)$ 的条件下，$\displaystyle M$ 服从二项分布 $\displaystyle B(n, p)$ ，其中 $\displaystyle p=P\{Y>0\}$ ，求 $\displaystyle M$ 的概率分布． 一、选择题： $\displaystyle 1 \sim 10$ 小题，每小题 5 分，共 50 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．