| 1 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由 $\displaystyle z+\ln z-\int_{y}^{x} e^{-t^{2}} d t=0$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=()$A$\displaystyle \frac{z}{z+1}\left(e^{-x^{2}}-e^{-y^{2}}\right)$ B$\displaystyle \frac{z}{z+1}\left(e^{-x^{2}}+e^{-y^{2}}\right)$ C$\displaystyle -\frac{z}{z+1}\left(e^{-x^{2}}-e^{-y^{2}}\right)$ D$\displaystyle -\frac{z}{z+1}\left(e^{-x^{2}}+e^{-y^{2}}\right)$ |
| 2 | 选择题 | 已知函数 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{2}} \sin t d t, g(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t \cdot \sin ^{2} x$ ，则（ ）A$\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，也是 $\displaystyle g(x)$ 的极值点 B$\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，$\displaystyle (0,0)$ 是曲线 $\displaystyle y=g(x)$ 的拐点 C$\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，$\displaystyle (0,0)$ 是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点 D$\displaystyle (0,0)$ 是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点，也是曲线 $\displaystyle y=g(x)$ 的拐点 |
| 3 | 选择题 | 如果对微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}-2 a y^{\prime}+(a+2) y=0$ 的任一解 $\displaystyle y(x)$ ，反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} y(x) d x$ 均收敛，那么 $\displaystyle a$ 的取值范围是（ ）A$\displaystyle (-2,-1]$ B$\displaystyle (-\infty,-1]$ C（－2，0） D$\displaystyle (-\infty, 0)$ |
| 4 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某去心邻域内有定义且恒不为零。若当 $\displaystyle x \rightarrow 0$时，$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle g(x)$ 的高阶无穷小，则当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时，A$\displaystyle f(x)+g(x)=o(g(x))$ B$\displaystyle f(x) g(x)=o\left(f^{2}(x)\right)$ C$\displaystyle f(x)=o\left(e^{g(x)}-1\right)$ D$\displaystyle f(x)=o\left(g^{2}(x)\right)$ |
| 5 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 连续，则 $\displaystyle \int_{-2}^{2} d x \int_{4-x^{2}}^{4} f(x, y) d y=(\quad)$A$\displaystyle \int_{0}^{4}\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\int_{\sqrt{4-y}}^{2} f(x, y) d x\right] d y$ B$\displaystyle \int_{0}^{4}\left[\int_{-2}^{\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\int_{\sqrt{4-y}}^{2} f(x, y) d x\right] d y$ C$\displaystyle \int_{0}^{4}\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\int_{2}^{\sqrt{4-y}} f(x, y) d x\right] d y$ D$\displaystyle 2 \int_{0}^{4} d y \int_{\sqrt{4-y}}^{2} f(x, y) d x$ |
| 6 | 选择题 | 设单位质点 $\displaystyle P, Q$ 分别位于点 $\displaystyle (0,0)$ 和 $\displaystyle (0,1)$ 处，$\displaystyle P$ 从点 $\displaystyle (0,0)$ 出发沿 $\displaystyle x$ 轴正向移动，记 $\displaystyle G$ 为引力常量，则当质点 $\displaystyle P$ 移动到点 $\displaystyle (l, 0)$ 时，克服质点 $\displaystyle Q$ 的引力所做的功为（ ）A$\displaystyle \int_{0}^{l} \frac{G}{x^{2}+1} d x$ B$\displaystyle \int_{0}^{l} \frac{G x}{\left(x^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$ C$\displaystyle \int_{0}^{l} \frac{G}{\left(x^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$ D$\displaystyle \int_{0}^{l} \frac{G(x+1)}{\left(x^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$ |
| 7 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，给出下列四个条件（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-f(0)}{x}$ 存在；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-|f(0)|}{x}$ 存在；（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在；（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在；
其中能得到＂$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导＂的条件个数是（） |
| 8 | 选择题 | 设矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ 有一个正特征值和两个负特征值，则（ ）A$\displaystyle a\gt 4, b\gt 0$ B$\displaystyle a\lt 4, b\gt 0$ C$\displaystyle a\gt 4, b\lt 0$ D$\displaystyle a\lt 4, b\lt 0$ |
| 9 | 选择题 | 下列矩阵中，可以经过若干初等行变换得到矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 的是A$\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 4\end{array}\right)$ B$\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 3\end{array}\right)$ C$\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ D$\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 6\end{array}\right)$ |
| 10 | 选择题 | 设 3 阶矩阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle r(A B)=r(B A)+1$ ，则 ()A方程组 $\displaystyle (A+B) x=0$ 只有零解 B方程组 $\displaystyle A x=0$ 与方程组 $\displaystyle B x=0$ 均只有零解 C方程组 $\displaystyle A x=0$ 与方程组 $\displaystyle B x=0$ 没有公共非零解 D方程组 $\displaystyle A B A x=0$ 与方程组 $\displaystyle B A B x=0$ 有公共非零解 |
| 11 | 填空题 | 设 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$ ，则 $\displaystyle a=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 12 | 填空题 | 曲线 $\displaystyle y=\sqrt[3]{x^{3}-3 x^{2}+1}$ 的渐近线方程为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 13 | 填空题 | $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left[\ln \frac{1}{n}+2 \ln \frac{2}{n}+\cdots+(n-1) \ln \frac{n-1}{n}\right]=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 14 | 填空题 | 已知函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}x=\ln (1+2 t) \\ 2 t-\int_{1}^{y+t^{2}} e^{-u^{2}} d u=0\end{array}\right.$ 确定，则 $\displaystyle \left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=0}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 15 | 填空题 | 微分方程 $\displaystyle (2 y-3 x) d x+(2 x-5 y) d y=0$ 满足条件 $\displaystyle y(1)=1$ 的解为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 16 | 填空题 | 设矩阵 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ ，若 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，且 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}=\alpha_{3}+\alpha_{4}$ ，则方程组 $\displaystyle A x=\alpha_{1}+4 \alpha_{4}$ 的通解为 $\displaystyle x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 |
| 17 | 解答题 | （本题满分 10 分）
计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{(x+1)\left(x^{2}-2 x+2\right)} d x$ ． |
| 18 | 解答题 | （本题满分 12 分）
设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)-e^{2 \sin x}+1}{\ln (1+x)+\ln (1-x)}=-3$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，并求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ． |
| 19 | 解答题 | （本题满分 12 分）
设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 可微且满足 $\displaystyle d f(x, y)=-2 x e^{-y} d x+e^{-y}\left(x^{2}-y-1\right) d y, f(0,0)=2$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ ，并求 $\displaystyle f(x, y)$ 的极值． |
| 20 | 解答题 | （本题满分 12 分）
已知平面有界区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 4 x, x^{2}+y^{2} \leq 4 y\right\}$ ，计算 $\displaystyle \iint_{D}(x-y)^{2} d x d y$ ． |
| 21 | 解答题 | （本题满分 12 分）
设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，证明导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内严格单调增加的充分必要条件是：
对 $\displaystyle (a, b)$ 内任意的 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，当 $\displaystyle x_{1}\lt x_{2}\lt x_{3}$ 时，$\displaystyle \frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}\lt\frac{f\left(x_{3}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{3}-x_{2}}$ ． |
| 22 | 解答题 | （本题满分 12 分）
已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & a\end{array}\right)$ 与 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{lll}k & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 合同．（1）求 $\displaystyle a$ 的值及 $\displaystyle k$ 的取值范围；（2）若存在正交矩阵 $\displaystyle Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{T} A Q=B$ ，求 $\displaystyle k$ 及 $\displaystyle Q$ ． |