2026年 数学三 真题

共22题

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#题型题目
1选择题曲线 $\displaystyle y=x \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$（ ）
A无水平渐近线，无铅直渐近线
B有水平渐近线，有铅直渐近线
C无水平渐近线，有铅直渐近线
D有水平渐近线，无铅直渐近线
2选择题设函数 $\displaystyle \mathrm{z}=\mathrm{z}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ 由方程 $\displaystyle \mathrm{x}-\mathrm{az}=\mathrm{e}^{\mathrm{y}+\mathrm{az}}$（a 是非零常数）确定，则（ ）。
A$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{a}$
B$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{a}$
C$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{a}$
D$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{a}$
3选择题已知函数 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x^{3}} \frac{\mathrm{e}^{t}}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t, \mathrm{f}$ 的反函数为 $\displaystyle g$ ，则（ ）。
A$\displaystyle g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{3}{2} \mathrm{e}$
B$\displaystyle g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{2}{3 e}$
C$\displaystyle g(1)=0, \quad g^{\prime}(1)=\frac{3}{2} \mathrm{e}$
D$\displaystyle g(1)=0, g^{\prime}(1)=\frac{2}{3 e}$
4选择题设 $\displaystyle t$ 时刻某证券的交易单价为 $\displaystyle \mathrm{p}(\mathrm{t})$ ，某机构持有该证券的份额为 $\displaystyle \mathrm{q}(\mathrm{t})$ ，若该机构在 $\displaystyle \mathrm{t} \in[0, \mathrm{~T}]$ 持续购入一定份额该证券，则这些证券的平均购入价格为
A$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{0}^{T} p(t) \mathrm{d} t$
B$\displaystyle \frac{1}{q(T)-q(0)} \int_{0}^{T} p(t) \mathrm{d} t$
C$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{0}^{T} p(t) q^{\prime}(t) \mathrm{d} t$
D$\displaystyle \frac{1}{q(T)-q(0)} \int_{0}^{T} p(t) q^{\prime}(t) \mathrm{d} t$
5选择题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), \mathbf{C}=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ a & b\end{array}\right)$ ，若存在矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 满足 $\displaystyle \mathbf{A B}=\mathbf{C}$ ，则（ ）。
A$\displaystyle a=-1, b=-1$
B$\displaystyle a=2, b=2$
C$\displaystyle a=-1, b=2$
D$\displaystyle a=2, b=-1$
6选择题设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 3 阶非零矩阵， $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的伴随矩阵，若 $\displaystyle \mathbf{A}^{*}=-2 \mathbf{A}$ ，则 $\displaystyle \mathbf{A}^{2}=$（ ）。
A$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}-4 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & -4\end{array}\right)$
B$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}-4 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$
C$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}-4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$
D$\displaystyle \left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$
7选择题设 3 阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 满足 $\displaystyle \mathbf{A B}+\mathbf{B A}=\mathbf{A}^{2}+\mathbf{B}^{2}$ ，且 $\displaystyle \mathbf{A} \neq \mathbf{B}$ ，则下列结论错误的是（ ）。
A$\displaystyle (\mathbf{A}-\mathbf{B})^{3}=\mathbf{O}$
B$\displaystyle \mathbf{A}-\mathbf{B}$ 只有零特征值
C$\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 不能都是对角矩阵
D$\displaystyle \mathbf{A}-\mathbf{B}$ 只有一个线性无关的特征向量
8选择题设随机变量 $\displaystyle X$ 和 $\displaystyle Y$ 独立分布， $\displaystyle X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{(1+x)^{2}}, x\gt 0 \\ 0, \quad x \leq 0\end{array}\right.$ ，则 $\displaystyle \mathrm{P}\{\mathrm{XY} \leqslant 1\}=$ （ ）。
A$\displaystyle \frac{3}{4}$
B$\displaystyle \frac{1}{2}$
C$\displaystyle \frac{1}{3}$
D$\displaystyle \frac{1}{6}$
9选择题设随机变量 $\displaystyle \mathrm{X} \sim \mathrm{N}(0,1)$ ，随机变量 $\displaystyle Y \sim B\left(2, \frac{1}{2}\right)$ ，且$\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 独立，则 $\displaystyle XY$ 与 $\displaystyle \mathrm{X}+\mathrm{Y}$ 的相关系数为
A$\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}$
B$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$
C$\displaystyle \frac{2}{3}$
D$\displaystyle \frac{1}{2}$
10选择题设随机变量 X 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=k\}=\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{3^{k}}(k=1,2, \cdots)$ ，则对于正整数 $\displaystyle \mathrm{m}, \mathrm{n}$ ，有
A$\displaystyle P\{X\gt m+n \mid X\gt m\}=P\{X\gt m\}$
B$\displaystyle P\{X\gt m+n \mid X\gt m\}=P\{X\gt n\}$
C$\displaystyle P\{X\gt m+n \mid X\gt m\}\gt P\{X\gt m\}$
D$\displaystyle P\{X\gt m+n \mid X\gt m\}\gt P\{X\gt n\}$
11填空题$\displaystyle \int_{0}^{1} x(x-1)\left(x-\frac{1}{2}\right) \mathrm{d} x=$
12填空题$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)=$
13填空题设 p 为常数，若反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{p}(x+1)} \mathrm{d} x$ 收敛，则 p 的取值范围是 $\displaystyle \_\_\_\_$。
14填空题微分方程 $\displaystyle \mathrm{y}^{\prime \prime}-2 \mathrm{y}^{\prime}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 满足条件 $\displaystyle \mathrm{y}(0)=1, \mathrm{y}^{\prime}(0)=1$ 的解为 $\displaystyle \mathrm{y}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
15填空题设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & b & -1 \\ a+2 & 3 & -3 a\end{array}\right)$ ，若二次型 $\displaystyle \mathbf{x}^{\mathrm{T}}\left(\mathbf{A A}^{\mathrm{T}}\right) \mathbf{x}$ 的规范形为 $\displaystyle \mathrm{y}_{1}{ }^{2}$ ，则 $\displaystyle \mathrm{a}+\mathrm{b}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
16填空题设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，随机变量 Y 服从参数为 3 的泊松分布， X 与 $\displaystyle \mathrm{Y}-\mathrm{X}$ 相互独立，则 $\displaystyle \mathrm{E}(\mathrm{XY})=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
17解答题（本题满分 10 分）已知函数 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{(2-x)^{2}}-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，将 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 展开成 $\displaystyle x$ 的幂级数。
18解答题（本题满分 12 分）已知函数 $\displaystyle \mathrm{g}(\mathrm{x})$ 连续。设 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x^{2}} g(x t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})$ 的表达式，并判断$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的连续性。
19解答题（本题满分 12 分）求函数 $\displaystyle f(x, y)=\left(2 x^{2}-y^{2}\right) e^{x}$ 的极值。
20解答题（本题满分 12 分）设平面区域 $\displaystyle \mathrm{D}=\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \mid 0 \leqslant \mathrm{x} \leqslant 1,0 \leqslant \mathrm{y} \leqslant 1\}$ ，计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} \frac{y}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
21解答题（本题满分 12 分）已知向量组 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1 \\ -1\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{4}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ ，记 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}\right.$ ， $\displaystyle \left.\mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}\right), \mathbf{G}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}\right)$ 。（1）证明： $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}$ 的极大线性无关组；（2）求矩阵 $\displaystyle \mathbf{H}$ 使得 $\displaystyle \mathbf{A}=\mathbf{G H}$ ，并求 $\displaystyle \mathbf{A}^{10}$ 。 解：（1）证明： $$ \mathbf{A}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}\right)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & -1 & 1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ $\displaystyle \mathrm{r}(\mathbf{A})=2$ 且 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$ 线性无关。又 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{3}=-\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{4}=\mathbf{\alpha}_{1}-\mathbf{\alpha}_{2}$ ，所以 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}$ 的极大线性无关组。 （2）由（1）可知： $$ \mathbf{A}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2},-\mathbf{\alpha}_{1}+\mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{1}-\mathbf{\alpha}_{2}\right)_{1 \times 4}=\left(\mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}\right)_{1 \times 2}\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)_{2 \times 4}$$ 所以 $$ \mathbf{H}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)$$ $\displaystyle \mathbf{A}^{10}=\mathbf{G H G H} \cdot \cdots \mathbf{G H}=\mathbf{G D}^{9} \mathbf{H}$其中 $\displaystyle \mathbf{D}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1\end{array}\right)_{2 \times 4}\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & -1 \\ -1 & 0 \\ -1 & -2\end{array}\right)_{4 \times 2}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right)_{2 \times 2}$ 。又 $\displaystyle \mathbf{D}^{2}=\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 0 & 1\end{array}\right), \mathbf{D}^{3}=\left(\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，由此可推出 $\displaystyle \mathbf{D}^{9}=\left(\begin{array}{cc}1 & -9 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 。 $$ \mathbf{A}^{10}=\mathbf{G} \mathbf{D}^{9} \mathbf{H}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 8 & -9 & 9 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 9 & 10 & -10 \\ -1 & 7 & 8 & -8 \end{array}\right)$$
22解答题（本题满分 12 分）假设某种元件的寿命服从指数分布，其均值 $\displaystyle \theta$ 是未知参数。为了估计 $\displaystyle \theta$ ，取 $\displaystyle n$个这种元件同时做寿命试验，试验到出现 $\displaystyle k(1 \leqslant k \leqslant n)$ 个元件失效时停止。（1）若 $\displaystyle \mathrm{k}=1$ ，失效元件的寿命记为 T ，（i）求 T 的概率密度；（ii）确定 a ，使得 $\displaystyle \hat{\theta}=a T$ 是 $\displaystyle \theta$ 的无偏估计，并求 $\displaystyle D(\hat{\theta})$ ；（2）已知 $\displaystyle k$ 个失效元件的寿命值分别为 $\displaystyle t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{k}$ ，且 $\displaystyle t_{1} \leqslant t_{2} \leqslant \cdots \leqslant t_{k}$ ，似然函数为 $\displaystyle L(\theta)=\frac{1}{\theta^{k}} e^{-\frac{1}{\theta}\left[\sum_{i=1}^{k} t_{i}+(n-k) t_{k}\right]}$ ，求 $\displaystyle \theta$ 的最大似然估计值。