| 1 | 选择题 | 已知当 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 时，$\displaystyle a x^{2}+b x+\arcsin x$ 与 $\displaystyle \sqrt[3]{1+x^{2}}-1$ 是等价无穷小，则A$\displaystyle a=\frac{1}{3}, b=-1$ ． B$\displaystyle \quad a=\frac{1}{3}, b=1$ ． C$\displaystyle a=\frac{2}{3}, b=-1$ ． D$\displaystyle \quad a=\frac{2}{3}, b=1$ ． |
| 2 | 选择题 | 设 $\displaystyle y_{1}(x), y_{2}(x)$ 是某 2 阶非齐次线性微分方程的两个特解，若常数 $\displaystyle \lambda, \mu$ 使得 $\displaystyle 2 \lambda y_{1}(x)+\mu y_{2}(x)$ 是该方程的解，$\displaystyle \lambda y_{1}(x)-2 \mu y_{2}(x)$ 是该方程对应的齐次方程的解，则A$\displaystyle \lambda=\frac{1}{5}, \mu=\frac{2}{5}$ ． B$\displaystyle \lambda=\frac{2}{5}, \mu=\frac{1}{5}$ ． C$\displaystyle \lambda=\frac{1}{4}, \mu=\frac{1}{2}$ ． D$\displaystyle \lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{4}$ ． |
| 3 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle x-a z=\mathrm{e}^{y+a z}$（ $\displaystyle a$ 是非零常数）确定，则（ ）。A$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{a}$ B$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{a}$ C$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{a}$ D$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{a}$ |
| 4 | 选择题 | 设线密度为 1 的细直棒的两个端点分别位于点 $\displaystyle (-1,0)$ 和点 $\displaystyle (1,0)$ 处，质量为 $\displaystyle m$ 的质点位于点 $\displaystyle (0,1)$ 处，$\displaystyle G$ 为引力常量，则该细直棒对该质点的引力大小为A$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2 G m x}{\left(x^{2}+1\right)^{\frac{1}{2}}} \mathrm{~d} x$ ． B$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2 G m}{\left(x^{2}+1\right)^{\frac{1}{2}}} \mathrm{~d} x$ ． C$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2 G m x}{\left(x^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x$ ． D$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2 G m}{\left(x^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x$ ． |
| 5 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上有定义，则A当 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,0)$ 单调递减，在 $\displaystyle (0,1)$ 单调递增时，$\displaystyle f(0)$ 是极小值． B当 $\displaystyle f(0)$ 是极小值时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,0)$ 单调递减，在 $\displaystyle (0,1)$ 单调递增． C当 $\displaystyle f(x)$ 的图形在 $\displaystyle [-1,1]$ 是凹的时，$\displaystyle \frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $\displaystyle [-1,1)$ 单调递增． D当 $\displaystyle \frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $\displaystyle [-1,1)$ 单调递增时，$\displaystyle f(x)$ 的图形在 $\displaystyle [-1,1]$ 是凹的． |
| 6 | 选择题 | 已知函数 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x^{3}} \frac{\mathrm{e}^{t}}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t, f$ 的反函数为 $\displaystyle g$ ，则A$\displaystyle g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{3}{2} \mathrm{e}$ ． B$\displaystyle g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{2}{3 \mathrm{e}}$ ． C$\displaystyle g(1)=0, g^{\prime}(1)=\frac{3}{2}$ e． D$\displaystyle g(1)=0, g^{\prime}(1)=\frac{2}{3 \mathrm{e}}$ ． |
| 7 | 选择题 | 设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$ 上连续，且 $\displaystyle f(x, y)=f(y, x)$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$A$\displaystyle 2 \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=n+1-i}^{n} f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) \frac{1}{n^{2}}$ ． B$\displaystyle \frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) \frac{1}{n^{2}}$ ． C$\displaystyle 2 \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{2 n} \sum_{j=1}^{2 n+1-i} f\left(\frac{i}{2 n}, \frac{j}{2 n}\right) \frac{1}{n^{2}}$ ． D$\displaystyle \frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{2 n} \sum_{j=1}^{i} f\left(\frac{i}{2 n}, \frac{j}{2 n}\right) \frac{1}{n^{2}}$ ． |
| 8 | 选择题 | 单位矩阵经过若干次互换两行得到的矩阵称为置换矩阵。设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle n$ 阶置换矩阵， $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$的伴随矩阵，则A$\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 为置换矩阵． B$\displaystyle \mathbf{A}^{-1}$ 为置换矩阵． C$\displaystyle \mathbf{A}^{-1}=\mathbf{A}^{*}$. D$\displaystyle \mathbf{A}^{-1}=-\mathbf{A}^{*}$ ． |
| 9 | 选择题 | 设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), \mathbf{C}=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ a & b\end{array}\right)$ ，若存在矩阵 $\displaystyle \mathbf{B}$ 满足 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{B}=\mathbf{C}$ ，则A$\displaystyle \quad a=-1, b=-1$ ． B$\displaystyle a=2, b=2$ ． C$\displaystyle a=-1, b=2$ ． D$\displaystyle \quad a=2, b=-1$ ．
9． |
| 10 | 选择题 | 设3阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 满足 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{B}+\mathbf{B} \mathbf{A}=\mathbf{A}^{2}+\mathbf{B}^{2}$ ，且 $\displaystyle \mathbf{A} \neq \mathbf{B}$ ，则下列结论错误的是A$\displaystyle (\mathbf{A}-\mathbf{B})^{3}=\mathbf{O}$ ． B$\displaystyle \mathbf{A}-\mathbf{B}$ 只有零特征值． C$\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 不能都是对角矩阵。 D$\displaystyle \mathbf{A}-\mathbf{B}$ 只有一个线性无关的特征向量． |
| 11 | 填空题 | 设 $\displaystyle p$ 为常数，若反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{p}(x+1)} \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle p$ 的取值范围是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 12 | 填空题 | $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{\ln (1+x)}{x \sin x}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 13 | 填空题 | 曲线 $\displaystyle x^{2}+2 \sqrt{3} x y+y^{2}=1$ 在点 $\displaystyle (0,1)$ 处的曲率半径为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 14 | 填空题 | 已知函数 $\displaystyle f(x, y)$ 可微，且 $\displaystyle \mathrm{d} f(0,0)=\pi \mathrm{d} x+3 \mathrm{~d} y$ ．记 $\displaystyle g(x)=f(\ln x, \sin \pi x)$ ，则 $\displaystyle g^{\prime}(1)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 15 | 填空题 | 函数 $\displaystyle f(x)=\ln (2+x)$ 在区间 $\displaystyle [0,2]$ 上的平均值为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． |
| 16 | 填空题 | 设矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & b & -1 \\ a+2 & 3 & -3 a\end{array}\right)$ ．若二次型 $\displaystyle \mathbf{x}^{\mathrm{T}}\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^{\mathrm{T}}\right) \mathbf{x}$ 的规范形为 $\displaystyle y_{1}^{2}$ ，则 $\displaystyle a+b=$ |
| 17 | 解答题 | （本题满分 10 分）
计算 $\displaystyle I=\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{|x|}^{\sqrt{2-x^{2}}} y \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ． |
| 18 | 解答题 | （本题满分 12 分）
已知函数 $\displaystyle g(x)$ 连续．设 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x^{2}} g(x t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的表达式，并判断 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的连续性． |
| 19 | 解答题 | （本题满分 10 分）
求函数 $\displaystyle f(x, y)=\left(2 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{e}^{x}$ 的极值． |
| 20 | 解答题 | （本题满分 12 分）
已知 $\displaystyle M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是曲线 $\displaystyle y=\frac{1}{1+x^{2}}(x \geq 0)$ 的拐点，$\displaystyle O$ 为坐标原点．记 $\displaystyle D$ 是第一象限中以曲线 $\displaystyle y=\frac{1}{1+x^{2}}\left(x \geq x_{0}\right)$ ，线段 $\displaystyle O M$ 及 $\displaystyle x$ 正半轴为边界的无界区域，求 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转所成旋转体的体积． |
| 21 | 解答题 | （本题满分 12 分）
求微分方程 $\displaystyle x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}-\left(y^{\prime}\right)^{2}=0(x\gt 2)$ 满足条件 $\displaystyle \left.y\right|_{x=3}=\frac{1}{2},\left.y^{\prime}\right|_{x=3}=-9$ 的解． |
| 22 | 解答题 | （本题满分 12 分）
已知向量组 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1 \\ -1\end{array}\right), \quad \mathbf{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right), \quad \mathbf{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \mathbf{\alpha}_{4}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ ，记
$$
A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right), \quad G=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) .$$
（1）证明： $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\alpha}_{1}, \mathbf{\alpha}_{2}, \mathbf{\alpha}_{3}, \mathbf{\alpha}_{4}$ 的极大线性无关组；（2）求矩阵 $\displaystyle \mathbf{H}$ 使得 $\displaystyle \mathbf{A}=\mathbf{G} \mathbf{H}$ ，并求 $\displaystyle \mathbf{A}^{10}$ ． |