第2章

1．填空选择题： （1）设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则 $\displaystyle{\lim} _{h \rightarrow 0} \frac{f(-h)-f(0)}{h}=$ $\_\_\_\_$ ； （2）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x\lt 0, \\ \ln (1+x), & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $f(0)=$ $\_\_\_\_$ ，$f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ； （3）设 $y=\frac{1-x}{1+x}$ ，则 $y^{\prime}=$ $\_\_\_\_$ ； （4）设函数 $f(x)=\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}-\frac{1}{x \sqrt{x}}$ ，则 $f^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ； （5）设函数 $f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ，$[f(0)]^{\prime}=$ $\_\_\_\_$ ； （6）过曲线 $y=x^{2}$ 上点 $(2,4)$ 处的切线斜率为 $\_\_\_\_$ ； （7）函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+2, & 0 \leqslant x\lt 1 \\ 3 x-1, & x \geqslant 1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处（ A．可导 B．连续但不可导 C．不连续 D．无定义 （8）函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续是在该点处可导的 A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．无关条件

10．求曲线 $y=x^{3}+x$ 上，其切线与直线 $y=4 x$ 平行的点．

11．证明：双曲线 $x y=a^{2}$ 上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 $2 a^{2}$ 。

2．求下列函数的导数： （1）$y=x^{5}$ ； （2）$y=\sqrt[3]{x}$ ； （3）$y=x \sqrt{x}$ ； （4）$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ； （5）$y=\frac{1}{x^{2}}$ ； （6）$y=\frac{\sqrt[3]{x^{5}}}{\sqrt{x}}$ ．

3．已知 $f(0)=0$ 且 $f^{\prime}(0)=2$ ，求 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 和 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0 \sin 3 x} \frac{f(x)}{\sin 3 x}$ ．

4．讨论下列函数在 $x=0$ 处的连续性和可导性： （1）$y=x^{3}$ ； （2）$y=\left|x^{3}\right|$ ； （3）$y=\sin x$ ； （4）$y=|\sin x|$ ．

5．求下列函数在定点处的导数： （1）$y=\sin x-\cos x$ ，求 $\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{\pi}{6}},\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{\pi}{4}}$ ； （2）$f(x)=\frac{3}{5-x}+\frac{x^{2}}{5}$ ，求 $f^{\prime}(0), f^{\prime}(2)$ ； （3）$f(t)=\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}$ ，求 $f^{\prime}(4)$ ； （4）$y=\arctan x+3 \operatorname{arccot} x$ ，求 $f^{\prime}(1), f^{\prime}(-1)$ ； （5）设 $f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)(x+2)}$ ，求 $f^{\prime}(1)$ ．

6．讨论下列函数在 $x=0$ 处的可导性： （1）$y= \begin{cases}-x, & x\lt 0, \\ x^{2}, & x \geqslant 0 ;\end{cases}$ （2）$y= \begin{cases}\mathrm{e}^{x}+1, & x \leqslant 0, \\ x+2, & x\gt 0 .\end{cases}$

7．求下列函数的导数 $(a \in \mathbf{R})$ ： （1）$y=a^{x} \cdot \mathrm{e}^{x}$ ； （2）$y=x^{a}+a^{x}+a^{a}$ ； （3）$y=x^{2} \cos x$ ； （4）$y=x \tan x-2 \sec x$ ； （5）$y=\frac{\sin x}{x^{2}}$ ； （6）$y=\sqrt{x}(x-\cot x) \cos x$ ； （7）$y=\ln (3 x)+3 \lg x$ ； （8）$y=x^{3} \ln x$ ； （9）$y=x^{2} \mathrm{e}^{x} \cos x$ ； （10）$y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}+2 x+1}$ ．

8．在抛物线 $y=x^{2}$ 上取横坐标为 $x_{1}=1, x_{2}=3$ 的两点，作过这两点的割线，求抛物线上哪一点的切线平行于这条割线，并写出这条切线的方程．

9．求曲线 $y=\cos x$ 在点 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$ 处的切线与法线方程．

1．选择题： （1）设 $y=f(-2 x)$ ，则 $y^{\prime}=(\quad)$ ； A．$f^{\prime}(2 x)$ B．$-f^{\prime}(-2 x)$ C．$f^{\prime}(-2 x)$ D．$-2 f^{\prime}(-2 x)$ （2）设 $f(x)=\arctan \mathrm{e}^{x}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ ； A．$\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{2 x}}$ B．$\frac{1}{1+\mathrm{e}^{2 x}}$ C．$\frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{2 x}}}$ D．$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\sqrt{1-\mathrm{e}^{2 x}}}$ （3）设 $y=\ln x$ ，则 $y^{\prime \prime}=($ ； A．$\frac{1}{x}$ B．$-\frac{1}{x^{2}}$ C．$\frac{1}{x^{2}}$ D．$-\frac{2}{x}$ （4）设 $f(x)=x^{3}-x^{2}+x+1$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ ； A． 0 B． 1 C． 2 D．-2 （5）设 $y=x^{n}+\mathrm{e}^{x}$ ，则 $y^{(n)}=$ ； A． $\mathrm{e}^{x}$ B．$n!$ C．$n!+n \mathrm{e}^{x}$ D．$n!+\mathrm{e}^{x}$ （6）设 $y=\mathrm{e}^{a x}$ ，则 $y^{(n)}=$ ． A．$a \mathrm{e}^{a x}$ B．$a^{n} \mathrm{e}^{a x}$ C． $\mathrm{e}^{a x}$ D．$a^{2} \mathrm{e}^{a x}$

10．求下列方程所确定的隐函数 $y=y(x)$ 的一阶导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ： （1）$x^{2}+y^{2}-x y=\ln 2$ ； （2）$y=x+x \ln y$ ； （3）$y=\cos (x+y)$ ； （4）$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ ； （5） $\arctan \frac{y}{x}=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ； （6）$x y=\mathrm{e}^{x+y}$ ； （7）$y=1+y \mathrm{e}^{x}$ ； （8）$y=x^{\frac{1}{y}}$ ； （9）$x^{y}+y^{x}=1$ ．

11．设方程 $\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{y}=x y$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数，求 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}$ ．

12．设方程 $x y^{3}=2 y-1$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数，则 $y$ 为整数时，求 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=1}$ ．

13．求由方程所确定的隐函数 $y=y(x)$ 的二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ． （1）$y^{2}+\ln y+x=0$ ； （2）$y=\ln (x-y)$ ；

14．利用对数求导法求下列函数的导数： （1）$y=x^{x}$ ； （2）$(\cos y)^{x}=(\sin x)^{y}$ ； （3）$y=\frac{\sqrt{x+1}(2-x)^{3}}{(x-1)^{4}}$ ； （4）$y=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{1-\sin x}}}$ ．

15．求椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 在点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处的切线方程．

16．已知下列参数方程，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ． （1）$\left\{\begin{array}{l}x=t^{4}, \\ y=4 t ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t) ;\end{array}\right.$ （3）$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{1+t}, \\ y=\frac{t}{1+t} ;\end{array}\right.$ （4）$\left\{\begin{array}{l}x=a t+b, \\ y=\frac{1}{2} a t^{2} .\end{array}\right.$

17．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^{2}, \\ y=t^{3}\end{array}\right.$ 在 $t=2$ 处的切线方程．

18．求 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2} \cos t, \\ y=\sin t\end{array}\right.$ 在 $t=\frac{\pi}{4}$ 处的切线方程和法线方程．

19．设 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln t+\mathrm{e}^{2}, \\ y=\frac{1}{1-t},\end{array}\right.$ 求 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{t=\frac{1}{2}}$ ．

2．填空题： （1）设曲线 $y=\frac{1}{1+x^{2}}$ 在点 $M$ 处的切线平行于 $x$ 轴，则点 $M$ 的坐标为 $\_\_\_\_$ ； （2）过曲线 $y=\frac{4+x}{4-x}$ 上点 $(2,3)$ 处的切线的斜率为 $\_\_\_\_$ ； （3）设 $f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n}$ ，则 $[f(0)]^{\prime}=$ $\_\_\_\_$ ； （4）一物体按规律 $s(t)=3 t-t^{2}$ 做直线运动，速度 $v\left(\frac{3}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ； （5）设 $f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

3．求下列各复合函数的导数： （1）$y=\sin 2 x$ ； （2）$y=\mathrm{e}^{-2 x}$ ； （3）$y=(2 x+1)^{2}$ ； （4）$y=\ln (1+3 x)$ ； （5）$y=\sqrt{\ln x}$ ； （6）$y=3^{\sqrt{x}}$ ； （7）$y=\left(2 x^{2}-1\right)^{2}$ ； （8）$y=\sin (4 x+1)$ ； （9）$y=\ln \left(x^{3}+1\right)$ ； （10）$y=\sin ^{2} x$ ； （11）$y=\ln (\ln x)$ ； （12）$y=\sqrt{x^{2}-2 x+3}$ ； （13）$y=\ln \sqrt{x}+\sqrt{\ln x}$ ； （14）$y=\mathrm{e}^{\cos x+x}$ ； （15）$y=2^{\sin x}$ ； （16）$y=\left(x^{2}-4 x+5\right)^{3}$ ．

4．求下列各复合函数的导数： （1）$y=(4 x+1)^{5}$ ； （2）$y=5 e^{3 x}+x^{2}$ ； （3）$y=\sin 3^{x}$ ； （4）$y=5^{\sin 2 x}$ ； （5）$y=\tan ^{2} x$ ； （6）$y=\cot \sqrt{x}$ ； （7）$y=\arcsin \frac{1}{x}$ ； （8）$y=\operatorname{arccot} 2 x$ ； （9）$y=\cos x^{2}+2 \sin 2 x$ ； （10）$y=x \sqrt{1-x^{2}}$ ； （11）$y=x^{2} \sin \frac{1}{x}$ ； （12）$y=x \arctan \frac{x}{3}$ ； > (13) $y=\sqrt{1+\ln ^{2} x}$ > (15) $y=\mathrm{e}^{\frac{x}{\ln x}}$ > (17) $y=2 \tan ^{2} \frac{1}{\sqrt{x}}$

5．求下列函数的导数： （1）$y=\ln \left(2 x^{2}+1\right)$ ； （3）$y=\mathrm{e}^{\arctan \sqrt{x}}$ ； （5）$y=\sqrt{x+\sqrt{x}}$ ． （7）$y=\arccos \frac{1}{x}$ ； （9）$y=\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \sin 3 x$ ； （11）$y=\ln \tan \frac{x}{2}$ ； （13）$y=\ln \ln \ln x$ ； （15）$y=\mathrm{e}^{-\sin ^{2} \frac{1}{x}}$ ； （17）$y=\ln (\sec x+\tan x)$ ；

6．设 $f(u)$ 可导，求下列函数的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ： （1）$y=f\left(\mathrm{e}^{x^{2}}\right)$ ； （3）$y=\arctan f(x)$ ； （2）$y=f\left(\sin ^{2} x\right)+f\left(\cos ^{2} x\right)$ ； （4）$y=f\left(\mathrm{e}^{2 x}+2 \ln x\right)$ ．

7．求下列函数的二阶导数： （1）$y=x \ln x$ ； （3）$y=\mathrm{e}^{1-2 x}$ ； （5）$y=\left(1+x^{2}\right) \arctan x$ ； （7）$y=x[\sin (\ln x)+\cos (\ln x)]$ ； （9）$y=\cos ^{2} x \ln x$ ； （2）$y=\cos x+\tan x$ ； （4）$y=\ln \left(1-x^{3}\right)$ ； （6）$y=\frac{\tan x}{x}$ ； （8）$y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ； （10）$y=\ln \left(\sqrt{2+x^{2}}-x\right)$ ．

8．求下列函数的高阶导数： （1）$y=\mathrm{e}^{x} \cos x$ ，求 $y^{\prime \prime \prime}$ ； （3）$y=\frac{1-x}{1+x}$ ，求 $y^{\prime \prime}$ ； （2）$y=\sin 2 x$ ，求 $y^{(n)}$ ； （4）$y=2^{x}$ ，求 $y^{(n)}$ 。

9．设 $y=\ln \left(1+2 x-3 x^{2}\right)$ ，求 $y^{(4)}$ ． （14）$y=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$ ； （16）$y=\sin \sqrt{x^{2}+1}$ ； （18）$y=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right)$ ． （2）$y=\sin \left(3 x^{2}+1\right)^{3}$ ； （4）$y=\sin ^{n} x \cos n x$ ； （6）$y=\arcsin (1-2 x)$ ； （8）$y=\frac{1-\ln x}{1+\ln x}$ ； （10）$y=\left(\arcsin \frac{x}{2}\right)^{2}$ ； （12）$y=\mathrm{e}^{-x}\left(x^{2}-2 x\right)$ ； （14）$y=\arctan \frac{x+1}{x-1}$ ； （16）$y=\sin ^{2} x \cdot \sin \left(x^{2}\right)$ ； （18）$y=\ln (\csc x-\cot x)$ ．

＊20．一飞机在离地面 2 km 的高度，以每小时 200 km 的速度水平飞行到某目标上空，以便进行航空摄影，试求飞机至该目标正上方时摄影机转动的角速度。

＊21．河水以 $8 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}$ 的体流量流人水库中，水库形状是长为 4000 m 、顶角为 $120^{\circ}$ 的水槽，问：水深 20 m 时，水面每小时上升几米？

＊22．溶液从深 18 cm 、顶直径 12 cm 的正圆锥形容器中抽入一直径为 10 cm 的圆柱形筒中，开始时圆锥容器中盛满了溶液，已知当溶液在容器中深为 12 cm 时，其表面下降的速 率为 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{min}$ ，问：此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？ ${ }^{*} 23$ ．落在平静水面上的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是 $6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，问：在 2 s 末扰动水面面积的增大率为多少？

1．填空选择题： （1）$f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导是 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续的 $\_\_\_\_$ ，$f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续是 $f(x)$在点 $x_{0}$ 处可导的 $\_\_\_\_$ ，$f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导是 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可微的 $\_\_\_\_$ ； A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．无关条件 （2）设函数 $f(x)$ 可导，则当 $x$ 在 $x=2$ 处有微小增量 $\Delta x$ 时，函数的增量约为 $\_\_\_\_$ ； A．$f^{\prime}(2)$ B． $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} f(x)$ C．$f(2+\Delta x)$ D．$f^{\prime}(2) \Delta x$ （3）设 $f(x)$ 可微，则 $\mathrm{d}\left[\mathrm{e}^{f(x)}\right]=$ $\_\_\_\_$ ； （4）设函数 $f(x)$ 可导，$y=f\left(-x^{2}\right)$ ，则 $\mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ； （5）$\frac{\mathrm{d}(\ln x)}{\mathrm{d}(\sqrt{x})}=$ $\_\_\_\_$ ； （6）设 $f(x)$ 为可微的偶函数，且对任意的 $x_{0}\left(x_{0} \neq 0\right), f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}$ ，则 $f^{\prime}\left(-x_{0}\right)$ ＝ $\_\_\_\_$。

10．水管壁的正截面是一个圆环，设它的内径为 $R_{0}$ ，壁厚为 $d$ ，利用微分计算这个圆环面积的近似值（ $d$ 相当小）。

11．半径为 15 cm 的球，半径伸长 2 mm ，球的体积约增加多少？

12．设扇形的圆心角 $\alpha=60^{\circ}$ ，半径 $R=100 \mathrm{~cm}$ ．如果 $R$ 不变，$\alpha$ 减少 $30^{\prime}$ ，问：扇形面积大约改变多少？又如果 $\alpha$ 不变，$R$ 增加 1 cm ，问：扇形面积大约改变多少？

13．扩音器插头为圆柱形，截面半径 $r$ 为 0.15 cm ，长度 $l$ 为 4 cm ．为了提高它的导电性能，要在这个圆柱的侧面镀上一层厚为 0.001 cm 的纯铜，问：每个插头约需多少纯铜？

2．试在图 A、B、C、D 中分别标出函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的 $\mathrm{d} y 、 \Delta y$ 及 $\Delta y-\mathrm{d} y$ ，并说明其正负。 <img src="/static/img/textbook/28329a64f828.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> （A） <img src="/static/img/textbook/b3d3eddc1bd7.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> （B） <img src="/static/img/textbook/cc30e4534e97.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> （C） <img src="/static/img/textbook/a27fcbc9145f.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> （D）

3．已知 $y=x^{2}-x$ ，计算在 $x=2$ 处当 $\Delta x$ 分别等于 $0.1,0.01$ 时的 $\Delta y$ 及 $\mathrm{d} y$ 。

4．函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处有增量 $\Delta x=0.2$ ，对应的函数增量和线性主部都等于 0.8 ，求点 $x_{0}$ 处的导数。

5．求下列函数的微分： （1）$y=x \ln x-x^{2}$ ； （2）$y=\arcsin \sqrt{x}$ ； （3）$y=x \arctan \sqrt{x}$ ； （4）$y=\ln \left(\tan \frac{x}{2}\right)$ ； （5）$y=1+x \mathrm{e}^{y}$ ； （6）$y^{2} \cos x=\sin 3 x$ ； （7）$y=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ； （8）$y=\frac{x^{3}-1}{x^{3}+1}$ ； （9）$y=\tan ^{2}\left(1+2 x^{2}\right)$ ； （10）$y=3^{\ln (\tan x)}$ ； （11）$y=x^{5 x}$ ； （12） $\mathrm{e}^{\frac{x}{y}}-x y=0$ ； （13）$y^{2}+\ln y=x^{4}$ ； （14）$y=\cos (x y)-x$ ．

6．将适当的函数填人括号内，使等式成立： （1） $\mathrm{d}(\quad)=2 \mathrm{~d} x$ ； （2） $\mathrm{d}(\quad)=3 x \mathrm{~d} x$ ； （3） $\mathrm{d}(\quad)=\cos 2 x \mathrm{~d} x$ ； （4） $\mathrm{d}(\quad)=\sin \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$ ； （5）d（ ）$=\frac{1}{1-x} \mathrm{~d} x$ ； （6）d（ ）$=\frac{x}{1-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （7）d（ ）$=\frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x$ ； （9）d（ ）$=\sin x \cos x \mathrm{~d} x$ ； （10） $\mathrm{d}(\quad)=\frac{\sin x}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．

7．若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 可导，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}$ ，试问：$\Delta x \rightarrow 0$ ，则 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=x_{0}}$ 与 $\Delta x$ 是否是等价无穷小？或同阶无穷小？是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小还是低阶的无穷小？

8．当 $|x|$ 很小时，证明： （1）$\sqrt[n]{1+x} \approx 1+\frac{1}{n}$ ； （2） $\sin x \approx x$ ； （3） $\tan x \approx x$ ； （4） $\mathrm{e}^{x} \approx 1+x$ ； （5） $\ln (1+x) \approx x$ ； （6）$\sqrt{a^{2}+x} \approx a+\frac{x}{2 a}\left(a\gt 0,|x| \ll a^{2}\right)$ ．

9．利用微分求近似值： （1） $\mathrm{e}^{1.01}$ ； （2） $\cos 151^{\circ}$ ； （3）$\sqrt[3]{1.02}$ ； （4） $\lg 11$ ； （5） $\arcsin 0.5002$ ； （6） $\tan 45^{\prime}$ ．

1．罗尔定理对下列函数是否成立？ （1）$f(x)=\ln (\sin x),\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$ ； （2）$f(x)=\frac{3}{x^{2}+1},[-1,1]$ ； （3）$f(x)=x \sqrt{3-x},[0,3]$ ．

10．利用洛必达法则求极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 5 x}{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}+x^{2}-5 x}{x^{3}-4 x^{2}+5 x}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\sin x}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos ^{2} x}{x^{2}}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\ln (\sin x)}{(\pi-2 x)^{2}}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan x-1}{\sin 4 x}$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0 \tan 2 x} \frac{\tan 5 x}{\tan 2 x}$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-16}{x^{3}+5 x^{2}-6 x-16}$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-x}{x-\sin x}$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}+1}{6\left(\mathrm{e}^{x}-1\right) \cdot \mathrm{e}^{x}}$ ； （11） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-3 x+2}{x^{3}-x^{2}-x+1}$ ； （12） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\cos x}{\sin x}$ ； （13） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \frac{\frac{2}{x}}{\pi-2 \arctan x}$ ； （14） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln (\sin 3 x)}{\ln (\sin 2 x)}$ ； （15） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)}{x^{2}}$ ； （16） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}\right)$ ； （17） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)$ ； （19） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}} \sin x \ln x$ ； （21） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} x^{-2} \mathrm{e}^{x}$ ； （23） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\cot ^{2} x\right)$ ； （25） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x^{\sin x}$ ； （27） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}$ ； （18） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x \cot 2 x$ ； （20） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{2}{\pi} \arctan x\right)^{x}$ ； （22） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sec x-\tan x)$ ； （24） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}(\cot x)^{\sin x}$ ； （26） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1-x}}$ ； （28） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos \sqrt{x})^{\frac{\pi}{x}}$ ．

2．下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，求出定理中的 $\xi$ ． （1）$f(x)=2 x^{3},[-1,1]$ ； （2）$f(x)=\arctan x,[0,1]$ ； （3）$f(x)=x^{3}+2 x^{2}+x-2,[-1,0]$ ．

3．试对下列函数写出柯西公式 $\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}$ ，并求 $\xi$ ． （1）$f(x)=x^{2}, F(x)=\sqrt{x},[1,4]$ ； （2）$f(x)=\sin x, F(x)=\cos x,\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ．

4．已知函数 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ ，不求 $f(x)$ 的导数，讨论方程 $f^{\prime}(x)=0$ 的实根数量并指出它们所在的区间。

5．试用拉格朗日中值定理证明： （1）若 $0\lt b \leqslant a$ ，则 $\frac{a-b}{a} \leqslant \ln \frac{a}{b} \leqslant \frac{a-b}{b}$ ； （2）若 $a\gt b\gt 0, n\gt 1$ ，则 $n b^{n-1}(a-b)\lt a^{n}-b^{n}\lt n a^{n-1}(a-b)$ ； （3）$\frac{1}{n+1}\lt \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\lt \frac{1}{n}$ ； （4）当 $x\gt 1$ 时， $\mathrm{e}^{x}\gt \mathrm{e} x$ 。

6．若方程 $a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x=0$ 有一个正根 $x=x_{0}$ ，证明方程 $a_{0} n x^{n-1}+a_{1}(n-1) x^{n-2} +\cdots+a_{n-1}=0$ 必有一个小于 $x_{0}$ 的正根。

7．设函数 $f(x)$ 在 $[-2,2]$ 上连续，在 $(-2,2)$ 内可导，且 $f(-2)=f(2)=0, f(0)=2$ ，证明曲线段 $C: y=f(x)(-2 \leqslant x \leqslant 2)$ 上至少有一点处的切线平行于直线 $x-2 y+1=0$ ．

8．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ ，使 $2 \xi[f(a)-f(b)]=\left(a^{2}-b^{2}\right) f^{\prime}(\xi)$ ．

9．设 $f(x) 、 g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ ，使 $\left|\begin{array}{ll}f(a) & f(b) \\ g(a) & g(b)\end{array}\right|=(b-a)\left|\begin{array}{ll}f(a) & f^{\prime}(\xi) \\ g(a) & g^{\prime}(\xi)\end{array}\right|$.

1．设多项式 $p(x)=x^{6}-2 x^{2}-x+3$ ， （1）将 $p(x)$ 按 $(x-1)$ 的乘幂展开； （2）将 $p(x)$ 按（ $x+1$ ）的乘幂展开。

2．求函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 按 $(x+1)$ 的幂展开的带有拉格朗日型余项的 $n$ 阶泰勒公式。

3．利用带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式求下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+\ln (1-x)]}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x^{3}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x+\frac{1}{6} x^{3}}{x^{5}}$ ．

4．试确定常数 $a$ 和 $b$ ，使 $f(x)=x-(a+b \cos x) \sin x$ 为当 $x \rightarrow 0$ 时关于 $x$ 的 5 阶无穷小．

5．用泰勒公式验证：当 $0\lt x \leqslant \frac{1}{2}$ 时，若按公式 $\mathrm{e}^{x} \approx 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}$ 计算 $\mathrm{e}^{x}$ 的近似值时，所产生误差小于 0.01 ，并求 $\sqrt{\mathrm{e}}$ 的近似值，使误差小于 0.01 ．

6．设函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有二阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，证明：对于 $(a, b)$ 内任意两点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，恒有 $\frac{1}{2}\left[f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)\right]\gt f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)$（提示：令 $x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ ，分别将 $f\left(x_{1}\right)$ 与 $f\left(x_{2}\right)$ 用 $x_{0}$ 处的一阶泰勒公式来表示）。

1．确定下列函数的单调区间： （1）$y=2+x-x^{2}$ ； （2）$y=\frac{2 x}{1+x^{2}}$ ； （3）$y=2 x+\frac{8}{x}(x\gt 0)$ ； （4）$y=2 x^{2}-\ln x$ ； （5）$y=\frac{\sqrt{x}}{x+100}(x \geqslant 0)$ ； （6）$y=x+\sin x$ ； （7）$f(x)=x-\arctan x$ ； （8）$y=x^{2}-\ln x^{2}$ ．

10．求函数 $y=\mathrm{e}^{\arctan x}$ 图形的拐点及凹或凸的区间．

11．求函数 $y=x^{4}(12 \ln x-7)$ 图形的拐点及凹或凸的区间．

12．试决定曲线 $y=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ 中的 $a 、 b 、 c 、 d$ ，使得曲线在 $x=-2$ 所对应的点处有水平切线，$(1,-10)$ 为曲线的拐点，且点 $(-2,44)$ 在曲线上．

13．求曲线 $x=t^{2}, y=3 t+t^{3}$ 的拐点．

14．求下列曲线的渐近线： （1）$y=\frac{1}{x^{2}-4 x-5}$ ； （2）$y=\frac{1}{(x+2)^{3}}$ ； （3）$y=x \mathrm{e}^{x^{-2}}$ ； （4）$y=-(x+1)+\sqrt{x^{2}+1}$ ； （5）$y=x \sin \frac{1}{x}$ ； （6）$y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}-1}$ ．

15．作下列函数的图形： （1）$y=\frac{1}{1+x^{2}}$ ； （2）$y=x \mathrm{e}^{-x}$ ； （3）$y=x \sqrt{3-x}$ ； （4）$y=\sqrt[3]{x^{2}}+2$ ； （5）$y=x^{2}+\frac{1}{x}$ ； （6）$y=\frac{3 x}{(x+1)^{2}}-2$ ．

2．试证明下列不等式： （1）当 $x\gt 0$ 时，$x-\frac{x^{2}}{2}\lt \ln (1+x)\lt x$ ； （2）当 $0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$ 时，$\frac{2}{\pi} x\lt \sin x\lt x$ ； （3）当 $0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$ 时， $\sin x+\tan x\gt 2 x$ ； （4）当 $x\gt 4$ 时， $2^{x}\gt x^{2}$ ； （5）当 $x\gt 0$ 时， $\ln (1+x)\gt \frac{\arctan x}{1+x}$ ； （6）当 $x \geqslant 0$ 时， $\arctan x \leqslant x$ ．

3．求下列函数的极值： （1）$y=2 x^{3}-6 x^{2}-18 x+7$ ； （2）$y=x^{2} \ln x$ ； （3）$y=2-(x-1)^{\frac{2}{3}}$ ； （4）$y=x^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ； （5）$y=x+\frac{1}{x}$ ； （6）$y=3-2(x+1)^{\frac{1}{3}}$ ； （7）$y=\arctan x-\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)$ ； （8）$y=2 x-\ln (4 x)^{2}$ ．

4．讨论方程 $\ln x=a x$（其中 $a\gt 0$ ）有几个实根。

5．证明方程 $x^{3}+5 x-2=0$ 只有一个正根．

6．试问：$a$ 为何值时，函数 $f(x)=a \sin x+\frac{1}{3} \sin 3 x$ 在 $x=\frac{\pi}{3}$ 处取得极值？它是极小值还是极大值？

7．若函数 $f(x)$ 有 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0, \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=1, \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=2, \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ ， $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} f(x)=\infty$ ，并且当 $x \in(0,1)$ 时，$f^{\prime}(x)\lt 0$ ，否则 $f^{\prime}(x)\gt 0(x \neq 2)$ ，当 $x \in\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 时， $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，否则 $f^{\prime \prime}(x)\lt 0(x \neq 0)$ ，则 （1）函数 $f(x)$ 的单调区间（注明增减）是 $\_\_\_\_$。 （2）函数曲线的凹区间 $\_\_\_\_$、凸区间 $\_\_\_\_$和拐点是 $\_\_\_\_$ ． （3）当 $x=$ $\_\_\_\_$时，函数取得极大值 $\_\_\_\_$。 （4）函数的渐近线有 $\_\_\_\_$。

8．判断下列曲线的凹凸性： （1）$y=4 x-x^{2}$ ； （2）$y=x \arctan x$ ．

9．求下列曲线的拐点及凹、凸区间： （1）$y=x^{3}-5 x^{2}+3 x+5$ ； （2）$y=\ln \left(x^{2}+1\right)$ ．

＊16．利用曲线的凹凸性证明不等式：$x \ln x+y \ln y\gt (x+y) \ln \frac{x+y}{2}$ ，其中 $x\gt 0, y\gt 0$ 且 $x \neq y$ ．

1．求下列函数在给定区间上的最大值和最小值： （1）$y=x^{4}-2 x^{2}+5,[-2,2]$ ； （2）$y=\sqrt{x(10-x)},[0,10]$ ； （3）$y=x+\sqrt{1-x},[-5,1]$ ； （4）$y=\frac{x^{2}}{1+x},\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ ．

10．在椭圆 $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 上找一点 $P(x, y)$ ，使椭圆在该点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积最小。

11．某工厂要建造一个容积为 $300 \mathrm{~m}^{3}$ 的带盖圆桶，问：半径 $r$ 和桶高 $h$ 如何确定，才能使所用材料最省？

12．生产某种商品 $x$ 单位的利润是 $L(x)=5000+x-0.00001 x^{2}$（元），问：生产多少个单位时获利润最大？

13．某厂每批生产 $A$ 商品 $x$ 台的费用为 $C(x)=5 x+200$（万元），得到的收入为 $R(x)= 10 x-0.01 x^{2}$（万元），问：每批生产多少台，才能使利润最大？

14．求圆 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 上任一点处的弧微分．

15．求抛物线 $y=x^{2}+x$ 上任一点处的弧微分及在点 $(0,0)$ 处的曲率．

16．求双曲线 $x y=4$ 在点 $(2,2)$ 处的曲率．

17．求立方抛物线 $y=x^{3}$ 在点 $(0,0)$ 及点 $(2,8)$ 处的曲率．

18．曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 在哪一点处的曲率最大，最大曲率是多少？

19．椭圆 $x=2 \cos t, y=3 \sin t$ 上哪些点处曲率最大？

2．求函数 $y=\sin 2 x-x$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值及最小值．

20．求椭圆 $\left\{\begin{array}{c}x=a \cos t, \\ y=b \sin t\end{array}\right.$ 在点 $(0, b)$ 处的曲率及曲率半径．

21．求椭圆 $4 x^{2}+y^{2}=4$ 在点 $(0,2)$ 处的曲率．

22．对数曲线 $y=\ln x$ 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径．

23．求摆线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array}(a\gt 0), t \in(0,2 \pi)\right.$ 的曲率，$t$ 为何值时，曲率最小？求最小曲率和该点处的曲率半径．

24．若抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ 在点 $x=0$ 处与曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 相切且有相同的曲率半径，试确定系数 $a, b, c$ 。

25．设 $y=f(x)$ 为过原点的一条曲线，$f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ 存在，有一条抛物线 $y=g(x)$ 与曲线 $y= f(x)$ 在原点相切，在该点处有相同的曲率，且在该点附近这两条曲线有相同的凹向，求 $g(x)$ 。

26．汽车连同载重共 5 t ，在抛物线拱桥上行驶，速度为 $21.6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ，桥的跨度为 10 m ，拱的矢高为 0.25 m ，求汽车越过桥顶时对桥的压力（见图2－74）。 <img src="/static/img/textbook/3dd4cafcd359.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

27．飞机沿抛物线 $y=x^{2} / 4000$（单位为 m ）俯冲飞行，在原点处速度为 $v=400 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，飞行员体重为 70 kg ．求俯冲到原点时，飞行员对座椅的压力。 \begin{tabular}{|l|l|} \hline 导数与微分 & \begin{tabular}{l} 理解导数与微分的概念、几何意义、物理意义 \\ 会求导基本公式、四则运算、复合函数隐函数、反函数、参数方程求导及高阶导数 \\ 会求平面曲线的切线与法线方程 \end{tabular} \\ \hline 微分中值定理 & \begin{tabular}{l} 理解 Roll、 Lagrange、 Cauchy、Taylor 定理 \\ 会用定理证明相关问题 \\ 会用洛必达法则求不定式的极限 \end{tabular} \\ \hline 应用 & 会用导数求单调性与极值、最值、凹凸性、渐进线等问题，能画简图会计算曲率（半径） \\ \hline \end{tabular}

3．已知铁路 $A B$ 长为 100 km ，工厂 $C$ 距 $A 20 \mathrm{~km}$ ，现要在铁路线上选一点 $D$ ，向工厂修筑公路．已知铁路与公路每千米费用之比为 $3: 5$ ，为使货物从 $B$ 到 $C$ 的运费最省，求 $D$ 的位置．

4．求内接于椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的面积最大的矩形的各边之长．

5．欲做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为 $72 \mathrm{~cm}^{3}$ ，其底边成 $1: 2$ 关系，问：各边的长为多少时，才能使表面积最小？

6．某车间靠墙壁要盖一间面积为 $64 \mathrm{~m}^{2}$ 的长方形小屋，而现有存砖只够砌 24 m 长的墙壁，问：这些存砖是否足够围成小屋？

7．在直线 $3 x-y-3=0$ 上求一点，使它与点 $A(1,1)$ 和 $B(6,4)$ 的距离平方和最小．

8．若直角三角形的一个直角边与斜边之和为常数 $a$ ，求具有最大面积的直角三角形．

9．从半径为 $R$ 的圆上截下中心角为 $\theta$ 的扇形，卷成一圆雉形漏斗，问：$\theta$ 为何值时，漏斗的容积最大。