习题1-1

1．设 $A, B$ 分别为下列两个给定的集合： （1）$A=\{1,2,3,4,5\}, B=\{2,4,6,8\}$ ； （2）$A=\mathbf{Z}^{+}, B=\mathbf{N}$ ； （3）$A=\{x \mid 3\lt x\lt 5\}, B=\{x \mid x\gt 4\}$ ； （4）$A=\left\{x \mid x^{2}+x-6\lt 0\right\}, B=\left\{x \mid x^{2}-2 x-3 \leqslant 0\right\}$ ； 试求 $A \cup B, A \cap B, A \backslash B, B \backslash A$ ．

10．设 $f(x)=\frac{1}{1-x}(x \neq 0, x \neq 1)$ ，求 $f[f(x)]$ 和 $f\{f[f(x)]\}$ ．

11．设 $f\left(\frac{1-x}{x}\right)=\frac{1}{x}+\frac{x^{2}}{2 x^{2}-2 x+1}-1(x \neq 0)$ ，求 $f(x)$ ．

12．设 $f(x)=3 x^{2}+4 x, \varphi(t)=\lg (1+t)$ ，求 $f[\varphi(t)], \varphi[f(x)]$ 及其定义域．

13．已知函数 $f(x)= \begin{cases}x^{2}, & 0 \leqslant x\lt 1, \\ 1, & 1 \leqslant x\lt 2, \\ 4-x, & 2 \leqslant x \leqslant 4 .\end{cases}$ （1）写出 $f(x)$ 的定义域，并画出函数 $f(x)$ 的图形； （2）求 $f(0), f(1.2), f(3), f(4)$ 。

14．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x, & x\lt 0, \\ \mathrm{e}^{x}, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 求复合函数 $f[f(x)]$ ．

15．试将函数 $f(x)=2|x-2|+|x-1|$ 表示成分段函数，并画出它的图像．

2．设 $U=\{1,2,3,4,5,6,7\}, A=\{2,3,4\}, B=\{3,6,7\}$ ，求 $A^{C}, B^{C}, A^{C} \cap B^{C},(A \cup B)^{C}$ 。

3．设 $A, B$ 都是集合 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ 的子集，且 $A^{C} \cap B^{C}=\{1,3,7,9\}$ ，试求 $A \cup B$ ．

4．用区间表示适合下列不等式的变量 $x$ 的变化范围： （1） $2\lt x \leqslant 6$ ； （2）$|x|\lt 3$ ； （3）$|x-2|\lt \frac{1}{10}$ ； （4）$|x|\gt 100$ ； （5） $0\lt |x-1|\lt 0.01$ ； （6） $0\lt |x-2| \leqslant 5$ ．

5．设 $x \in U(1, \delta)$ 时，$|2 x-2|\lt \varepsilon$ ，当 $\varepsilon$ 分别等于 0.1 和 0.01 时，求邻域半径 $\delta$ 各等于多少．

6．求下列函数的定义域： （1）$y=\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}-5 x+6}}$ ； （2）$y=4 \sqrt{3 x+2}+2 \arcsin \frac{x-1}{2}$ ； （3）$y=\sqrt{x}+\sqrt[3]{\frac{1}{x-2}}$ ； （4）$y=\ln \frac{1}{1-x}+\sqrt{x+2}$ ； （5）$y=\frac{2}{|x|-x}+\sqrt{\ln (3+x)}$ ； （6）$y=\frac{1}{[x+1]}$ ； （7）$y=f\left(x^{2}+1\right)$ ，其中 $f(x)$ 的定义域是 $[1,2]$ ； （8）$y=f(\sin x)+f(\ln x)$ ，其中 $f(x)$ 的定义域是 $[0,1)$ ．

7．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & -2\lt x\lt 0, \\ 1+x^{2}, & 0 \leqslant x\lt 2,\end{array}\right.$ 求 $f(1), f\left(\frac{\pi}{2}\right), f\left(-\frac{\pi}{4}\right), f(-3)$ 。

8．设 $f(x)=\sqrt{\sin x}+2 \cos ^{2} x$ ，求 $f\left(\frac{\pi}{2}\right), f\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ ．

9．设 $f(x)=\sqrt{x^{2}-1}, g(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ ，求 $f[g(x)], g[f(x)]$ ．