习题1-2

1．下列各题中的数列 $\left\{x_{n}\right\}$ ，哪些收敛？哪些发散？对于收敛数列，通过观察得出数列的极限： （1）$x_{n}=\frac{1}{a^{n}}(a\gt 1)$ ； （2）$x_{n}=2^{\frac{1}{n}}$ ； （3）$x_{n}=(-1)^{n} n$ ； （4）$x_{n}=\frac{n+2}{n+3}$ ； （5）$x_{n}=\frac{n}{2^{n}}$ ； （6）$x_{n}=\ln \frac{1}{n}$ ； （7）$x_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}$ ； （8）$x_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n}$ ； （9）$x_{n}=0 . \underbrace{999 \cdots 9}_{n}$ ； （10）$x_{n}=\frac{\sin n}{(n+1)^{2}}$ ．

2．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}-1}{2 n^{2}+3 n}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{2 n^{3}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n}+1}{3^{n}-1}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}}{n^{3}}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+2+\cdots+n}{n}-\frac{n}{2}\right)$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+1}\right)$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} n\left(\sqrt{n^{2}+1}-n\right)$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt[n^{2}]{2} \cdot \sqrt[n^{2}]{2^{2}} \cdot \sqrt[n^{2}]{2^{3}} \cdots \cdot \sqrt[n^{2}]{2^{n}}\right)$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}[\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)}]$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+3 \sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}})$ ．

3．已知 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2016}}{n^{k}-(n-1)^{k}}=A \neq 0$ ，求 $k$ 的值．

＊4．下列说法作为 $a$ 是数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的极限，哪些是对的？哪些是错的？如果是对的，试说明理由；如果是错的，试给出一个反例． （1）对于无穷多个 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{Z}^{+}$，当 $n\gt N$ 时，使得不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt \varepsilon$ 成立； （2）对于任给的 $\varepsilon\gt 0$ ，任给 $N \in \mathbf{Z}^{+}$，存在 $n\gt N$ ，使得不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt \varepsilon$ 成立； （3）对于任给的 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{Z}^{+}$，当 $n \geqslant N$ 时，使得不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt \varepsilon$ 成立； （4）对于任给的 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{Z}^{+}$，当 $n\gt N$ 时，使得不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt k \varepsilon, k \in \mathbf{R}^{+}$成立； （5）对于任给的 $m \in \mathbf{Z}^{+}$，存在 $N \in \mathbf{Z}^{+}$，当 $n\gt N$ 时，使得不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt \frac{1}{m}$ 成立。

＊5．下列结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，请举出反例． （1）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left|x_{n}\right|=|a|$ ； （2）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left|x_{n}\right|=|a|$ ，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a(a \neq 0)$ ； （3）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 不存在， $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}$ 不存在，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}+y_{n}\right)$ 必不存在； （4）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 不存在， $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}$ 存在，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}+y_{n}\right)$ 必不存在； （5）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在， $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}$ 不存在，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \cdot y_{n}\right)$ 必不存在； （6）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$ ．