习题1-3

1．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}+2 x+1}{x-1}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} \frac{x-1}{\sqrt{x+1}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-3 x+2}{x-1}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+2 x+1}{x^{4}-3 x+1}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x^{2}+5 x-6}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \sqrt[3]{x-1}$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right)$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} x\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)$ ； （11） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}$ ； （12） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}\left(n \in \mathbf{Z}^{+}\right)$； （13） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{4 x^{2}+3 x+1}-\sqrt{4 x^{2}-3 x-2}\right)$ ； （14） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x})$ ．

2．下列函数是否有水平渐近线？若有水平渐近线，写出其方程． （1）$y=\frac{3 x+1}{x}$ ； （2）$y=\frac{1}{x^{2}+1}$ ； （3）$y=\frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-1}$ ； （4）$y=\frac{x^{2}+x-1}{x+1}$ ．

3．试求常数 $a$ 与 $b$ 的值，使得 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{3 x^{2}+4 x+1}-a x-b\right)=0$ ．

4．设 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}-a x^{2}-x+4}{x+1}$ 存在且为 $l$ ，求 $a$ 与 $l$ 的值．

＊5．证明： $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 的充要条件是 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-\infty} f(x)=A$ ．