习题1-4

1．已知 $x_{n}=\frac{(-1)^{n}}{(n+1)^{2}}$ ，证明数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的极限为 0 ．

2．证明 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}=2$ ．

3．用函数极限的定义证明 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \arctan x=\frac{\pi}{2}$ ．

4．用数列极限定义证明： （1）如果 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle{\lim} _{k \rightarrow \infty} x_{2 k}=a, ~ \displaystyle{\lim} _{k \rightarrow \infty} x_{2 k+1}=a$ ； （2）如果 $\displaystyle{\lim} _{k \rightarrow \infty} x_{2 k}=a, ~ \displaystyle{\lim} _{k \rightarrow \infty} x_{2 k+1}=a$ ，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ 。

5．证明函数极限的唯一性：如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)$ 存在，那么该极限唯一。

6．证明函数极限的唯一性：如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，那么该极限唯一。

7．证明函数的局部有界性：如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在，那么存在常数 $M\gt 0$ 和 $X\gt 0$ ，使得 $|x|\gt X$时，有 $|f(x)| \leqslant M$ ．

8．若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, \displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b$ ，证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \cdot y_{n}\right)=\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n} \cdot \displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}=a \cdot b$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}}{\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}}=\frac{a}{b}\left(\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b \neq 0\right)$ ．

9．设 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A, \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=B$ ，证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}}[f(x) \pm g(x)]=A \pm B=\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \pm \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}=\frac{\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x)}{\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} g(x)}(B \neq 0)$ ．