习题1-5

1．求下列函数的极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 4 x}{x}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0 \tan 3 x} \frac{\sin 2 x}{\tan 3 x}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x \cdot \cot 2 x$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x \sin x}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} 5^{n} \sin \frac{x}{5^{n}}$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow a} \frac{\cos x-\cos a}{x-a}$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x+\sin x}$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin 2 x}{\sin 3 x}$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \pi} \frac{\sin x}{\pi-x}$ ； （11） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin ^{3} x}$ ； （12） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1}(1-x) \tan \frac{\pi x}{2}$ ．

2．求下列函数的极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{1}{x}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}(1-4 x)^{\frac{1}{x}}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2 x}\right)^{x}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2 x+1}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x+1}{2 x-3}\right)^{x}$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}\left(1+3 \tan ^{2} x\right)^{\cot ^{2} x}$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(1+\cos x)^{2 \sec x}$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{\sin \frac{1}{x}}}$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{3^{n}}\right)^{3^{n}}$ ； （11） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3 x-1}{3 x+1}\right)^{3 x-1}$ ； （12） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1}(2-x)^{\sec \frac{\pi x}{2}}$ ； （13） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos \sqrt{x})^{\frac{1}{x}}$ ； （14） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sin x)^{\tan x}$ ．

3．利用夹逼准则证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)=1$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n}}{n!}=0$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(1+2^{n}+3^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=3$ ．

＊4．如果函数 $f(x), g(x), h(x)$ 满足： （1）当 $x \in \dot{U}\left(x_{0}, r\right)$（或 $\left.|x|\gt X_{0}\right)$ 时，$g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{\substack{x \rightarrow x_{0} \\(x \rightarrow \infty)}} g(x)=A, \displaystyle{\lim} _{\substack{x \rightarrow x_{0} \\(x \rightarrow \infty)}} h(x)=A$ ，证明 $\displaystyle{\lim} _{\substack{x \rightarrow x_{0} \\(x \rightarrow \infty)}} f(x)$ 存在，且 $\displaystyle{\lim} _{\substack{x \rightarrow x_{0} \\(x \rightarrow \infty)}} f(x)=A$ ．