习题1-6

1．判断下列各题中，哪些是无穷小？哪些是无穷大？ （1） $3 x^{2}-2 x-1(x \rightarrow 1)$ ； （2）$\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}}(x \rightarrow+\infty)$ ； （3） $\ln x(x \rightarrow+\infty)$ ； （4） $\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\left(x \rightarrow 0^{-}\right)$； （5）$x^{2}\left(3-\sin \frac{1}{x}\right)(x \rightarrow 0)$ ； （6） $\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\left(x \rightarrow 0^{+}\right)$．

2．当 $x \rightarrow 0\left(x \rightarrow 0^{+}\right)$时，下列哪些是 $x$ 的高阶无穷小？哪些是 $x$ 的同阶或等价无穷小？哪些是 $x$ 的低阶无穷小？并指出无穷小的阶数。 （1） $\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-1$ ； （2）$x+2 x^{2}$ ； （3） $1-\cos x^{2}$ ； （4）$x^{4}+\sin 2 x$ ； （5）$\sqrt{x(1-x)}$ ； （6）$\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi}{2}(1-x)$ ； （7） $\ln \left(1+x^{\frac{3}{2}}\right)$ ； （8） $\sin \left(\tan ^{2} x\right)$ ； （9） $\csc x-\cot x$ ．

3．下列计算是否正确？如有错误，请指出错在何处。 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}=\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x-x}{x^{3}}=0$ ．

4．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+x}{x^{3}-2 x+1}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-2} \frac{x-2}{\sqrt{x+2}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{3}-2 x+1}}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 3} \frac{x+2}{x^{2}-9}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^{3}\right)}{\sin ^{2} x}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{\ln \left(1+2 x^{3}\right)}$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan 3 x}{\ln (1-2 x)}$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0 \sqrt{1+x}-1} \frac{\mathrm{e}^{3 x}-1}{\sqrt{1+x}}$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\sin x)}{x}$ ； （11） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} n[\ln (n+1)-\ln n]$ ； （12） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \mathrm{e}} \frac{\ln x-1}{x-\mathrm{e}}$ ； （13） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right) \sin x}{1-\cos x}$ ； （14） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} x^{2}\left(1-\cos \frac{1}{x}\right)$ ； （15） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sin x^{2}}-1}{x \tan x}$ ； （16） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (x \tan x)}{\sin 2 x}$ ．

5．证明： （1）有限个无穷小的和与差都是无穷小； （2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小，有限个无穷小的积是无穷小。

＊6．根据定义证明： （1）当 $x \rightarrow 0$ 时，$y=\frac{1+x}{x}$ 为无穷大； （2）当 $x \rightarrow 0^{+}$时，$y=x \sin \frac{1}{\sqrt{x}}$ 为无穷小。

＊7．函数 $y=x \cos x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是否有界？又当 $x \rightarrow \infty$ 时，函数是否为无穷大？为什么？

＊8．求曲线 $f(x)=\frac{x^{2}+1}{x+1}(x \neq-1)$ 的斜渐近线方程．