习题1-7

1．选择题： （1）函数 $f(x)=\frac{1}{x(x-3)(x+5)}$ 在区间（ ）上连续； A．$(-4,3)$ B．$(-4,-1)$ C．（ $-8,-4$ ） D．$(1,4)$ （2）若 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} x^{k} \arctan \frac{2}{x^{2}}=2$ ，则 $k=(\quad)$ ； A． 2 B． 0 C．$\frac{1}{2}$ D． 1 （3） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{4 n^{2}+n}+n}{n+2}=(\quad)$ ； A．$\infty$ B． 0 C． 2 D． 3 （4）函数 $f(x)=\sqrt{x+1}+\frac{x^{2}-1}{(x-1)(x+3)}$ 的间断点的个数为（ ）； A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 （5）函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}, & x\gt 0 \\ x+1, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在点 $x=0$ 处间断是因为（ ）； A．$f(x)$ 在点 $x=0$ 无定义 B． $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)$ 和 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ 都不存在 C． $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)$ 不存在 D． $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x) \neq f(0)$ （6）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{e}^{2 x}-1}{k x}, & x\gt 0, \\ 1-x, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在点 $x=0$ 处连续，则 $k=()$ ． A．-1 B． 1 C．-2 D． 2

10．证明：方程 $x^{5}-3 x-1=0$ 至少有一个实根介于 1 与 2 之间．

11．证明：方程 $x-a \sin x-b=0$（其中 $a\gt 0, b\gt 0$ ）至少有一个不超过 $a+b$ 的正根．

12．设函数 $f(x)$ 在 $[0,2 a]$ 上连续，且 $f(0)=f(2 a)$ ，证明至少存在一点 $\xi \in[0, a]$ ，使 $f(\xi)=f(a+\xi)$ ．

2．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： （1）$f(x)= \begin{cases}x^{2}, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 2-x, & 1\lt x \leqslant 2 ;\end{cases}$ （2）$f(x)= \begin{cases}x, & -1 \leqslant x \leqslant 1, \\ 1, & x\lt -1, x\gt 1 ;\end{cases}$ （3）$f(x)= \begin{cases}|x|, & |x| \leqslant 1, \\ \frac{x}{|x|}, & 1\lt |x| \leqslant 3 ;\end{cases}$ （4）$f(x)= \begin{cases}2 x, & 0 \leqslant x\lt 1, \\ 3-x, & 1\lt x \leqslant 2 .\end{cases}$

3．下列函数在指出的点处是否间断？如果间断，说明这些间断点属于哪一类型．如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使其连续． （1）$f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-3 x+2}, x=1, x=2$ ； （2）$f(x)=\frac{x}{\tan x}, x=0, x=\frac{\pi}{2}, x=\pi$ ； （3）$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x-1, & x \leqslant 1, \\ 3-x, & x\gt 1,\end{array} \quad x=1\right.$ ； （4）$f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}, x=0$ ； （5）$f(x)=\sin x \cos \frac{1}{x}, x=0$ ； （6）$f(x)=\ln (1+k x)^{\frac{m}{x}}, k, m \in \mathbf{R} \backslash\{0\}, x=0, x=1$ ．

4．设函数 $$ f(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^{x}, & x\lt 0 \\ a+x, & x \geqslant 0\end{cases} $$ 应选择什么样的常数 $a$ ，使得 $f(x)$ 成为在 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数？

5．设函数 $$ f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x} \sin x, & x\lt 0 \\ a, & x=0 \\ x \sin \frac{1}{x}+1, & x\gt 0\end{cases} $$ 应选择什么样的常数 $a$ ，使得 $f(x)$ 成为在 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数？

6．设分段函数 $$ f(x)= \begin{cases}\frac{\cos x}{x+2}, & x \geqslant 0, \\ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-x}}{x}, & x\lt 0(a\gt 0) .\end{cases} $$ （1）$a$ 取什么值时，$x=0$ 是 $f(x)$ 的连续点？ （2）$a=2$ 时，求 $f(x)$ 的连续区间．

7．讨论函数 $$ f(x)= \begin{cases}\frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-1}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}+1}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{cases} $$ 在 $x=0$ 处的连续性．

8．求函数 $f(x)=\frac{x|x-2|}{\left(x^{2}-4\right) \sin x}$ 的间断点，并判断其类型．

9．讨论下列函数的连续性，若有间断点，判断其所属类型． （1）$f(x)=\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{1-x^{2 n}}{1+x^{2 n}} x$ ； （2）$f(x)=\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+x^{2 n}}$ ．

＊13．设 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内连续，并且 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=-\infty, \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=+\infty$ ，证明在 $(a$ ， $b)$ 内有零点． \begin{tabular}{|l|l|} \hline 函数概念与性质 & \begin{tabular}{l} 了解函数的定义域和表达式（集合的交、并、补） \\ 熟悉几类常见函数性质和图形（基本初等函数、复合函数、分段函数、初等函数） \end{tabular} \\ \hline 极限 & \begin{tabular}{l} 掌握数列的极限与计算 \\ 了解函数极限存在性与左右极限之间的关系 \\ 熟练有理函数无理函数极限的计算 \\ 了解夹逼定理和单调有界定理 \\ 熟练三角函数极限和幂指函数极限的计算 \\ 了解无穷小阶的概念，会用等价无穷小性质求极限 \end{tabular} \\ \hline 连续 & \begin{tabular}{l} 了解函数连续（左、右连续）与间断，会判定间断点类型 \\ 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） \end{tabular} \\ \hline \end{tabular}