习题2-1

1．填空选择题： （1）设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则 $\displaystyle{\lim} _{h \rightarrow 0} \frac{f(-h)-f(0)}{h}=$ $\_\_\_\_$ ； （2）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x\lt 0, \\ \ln (1+x), & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $f(0)=$ $\_\_\_\_$ ，$f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ； （3）设 $y=\frac{1-x}{1+x}$ ，则 $y^{\prime}=$ $\_\_\_\_$ ； （4）设函数 $f(x)=\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}-\frac{1}{x \sqrt{x}}$ ，则 $f^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ； （5）设函数 $f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ，$[f(0)]^{\prime}=$ $\_\_\_\_$ ； （6）过曲线 $y=x^{2}$ 上点 $(2,4)$ 处的切线斜率为 $\_\_\_\_$ ； （7）函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+2, & 0 \leqslant x\lt 1 \\ 3 x-1, & x \geqslant 1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处（ A．可导 B．连续但不可导 C．不连续 D．无定义 （8）函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续是在该点处可导的 A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．无关条件

10．求曲线 $y=x^{3}+x$ 上，其切线与直线 $y=4 x$ 平行的点．

11．证明：双曲线 $x y=a^{2}$ 上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 $2 a^{2}$ 。

2．求下列函数的导数： （1）$y=x^{5}$ ； （2）$y=\sqrt[3]{x}$ ； （3）$y=x \sqrt{x}$ ； （4）$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ； （5）$y=\frac{1}{x^{2}}$ ； （6）$y=\frac{\sqrt[3]{x^{5}}}{\sqrt{x}}$ ．

3．已知 $f(0)=0$ 且 $f^{\prime}(0)=2$ ，求 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 和 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0 \sin 3 x} \frac{f(x)}{\sin 3 x}$ ．

4．讨论下列函数在 $x=0$ 处的连续性和可导性： （1）$y=x^{3}$ ； （2）$y=\left|x^{3}\right|$ ； （3）$y=\sin x$ ； （4）$y=|\sin x|$ ．

5．求下列函数在定点处的导数： （1）$y=\sin x-\cos x$ ，求 $\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{\pi}{6}},\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{\pi}{4}}$ ； （2）$f(x)=\frac{3}{5-x}+\frac{x^{2}}{5}$ ，求 $f^{\prime}(0), f^{\prime}(2)$ ； （3）$f(t)=\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}$ ，求 $f^{\prime}(4)$ ； （4）$y=\arctan x+3 \operatorname{arccot} x$ ，求 $f^{\prime}(1), f^{\prime}(-1)$ ； （5）设 $f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)(x+2)}$ ，求 $f^{\prime}(1)$ ．

6．讨论下列函数在 $x=0$ 处的可导性： （1）$y= \begin{cases}-x, & x\lt 0, \\ x^{2}, & x \geqslant 0 ;\end{cases}$ （2）$y= \begin{cases}\mathrm{e}^{x}+1, & x \leqslant 0, \\ x+2, & x\gt 0 .\end{cases}$

7．求下列函数的导数 $(a \in \mathbf{R})$ ： （1）$y=a^{x} \cdot \mathrm{e}^{x}$ ； （2）$y=x^{a}+a^{x}+a^{a}$ ； （3）$y=x^{2} \cos x$ ； （4）$y=x \tan x-2 \sec x$ ； （5）$y=\frac{\sin x}{x^{2}}$ ； （6）$y=\sqrt{x}(x-\cot x) \cos x$ ； （7）$y=\ln (3 x)+3 \lg x$ ； （8）$y=x^{3} \ln x$ ； （9）$y=x^{2} \mathrm{e}^{x} \cos x$ ； （10）$y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}+2 x+1}$ ．

8．在抛物线 $y=x^{2}$ 上取横坐标为 $x_{1}=1, x_{2}=3$ 的两点，作过这两点的割线，求抛物线上哪一点的切线平行于这条割线，并写出这条切线的方程．

9．求曲线 $y=\cos x$ 在点 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$ 处的切线与法线方程．