习题2-2

1．选择题： （1）设 $y=f(-2 x)$ ，则 $y^{\prime}=(\quad)$ ； A．$f^{\prime}(2 x)$ B．$-f^{\prime}(-2 x)$ C．$f^{\prime}(-2 x)$ D．$-2 f^{\prime}(-2 x)$ （2）设 $f(x)=\arctan \mathrm{e}^{x}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ ； A．$\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{2 x}}$ B．$\frac{1}{1+\mathrm{e}^{2 x}}$ C．$\frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{2 x}}}$ D．$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\sqrt{1-\mathrm{e}^{2 x}}}$ （3）设 $y=\ln x$ ，则 $y^{\prime \prime}=($ ； A．$\frac{1}{x}$ B．$-\frac{1}{x^{2}}$ C．$\frac{1}{x^{2}}$ D．$-\frac{2}{x}$ （4）设 $f(x)=x^{3}-x^{2}+x+1$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ ； A． 0 B． 1 C． 2 D．-2 （5）设 $y=x^{n}+\mathrm{e}^{x}$ ，则 $y^{(n)}=$ ； A． $\mathrm{e}^{x}$ B．$n!$ C．$n!+n \mathrm{e}^{x}$ D．$n!+\mathrm{e}^{x}$ （6）设 $y=\mathrm{e}^{a x}$ ，则 $y^{(n)}=$ ． A．$a \mathrm{e}^{a x}$ B．$a^{n} \mathrm{e}^{a x}$ C． $\mathrm{e}^{a x}$ D．$a^{2} \mathrm{e}^{a x}$

10．求下列方程所确定的隐函数 $y=y(x)$ 的一阶导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ： （1）$x^{2}+y^{2}-x y=\ln 2$ ； （2）$y=x+x \ln y$ ； （3）$y=\cos (x+y)$ ； （4）$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ ； （5） $\arctan \frac{y}{x}=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ； （6）$x y=\mathrm{e}^{x+y}$ ； （7）$y=1+y \mathrm{e}^{x}$ ； （8）$y=x^{\frac{1}{y}}$ ； （9）$x^{y}+y^{x}=1$ ．

11．设方程 $\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{y}=x y$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数，求 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}$ ．

12．设方程 $x y^{3}=2 y-1$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数，则 $y$ 为整数时，求 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=1}$ ．

13．求由方程所确定的隐函数 $y=y(x)$ 的二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ． （1）$y^{2}+\ln y+x=0$ ； （2）$y=\ln (x-y)$ ；

14．利用对数求导法求下列函数的导数： （1）$y=x^{x}$ ； （2）$(\cos y)^{x}=(\sin x)^{y}$ ； （3）$y=\frac{\sqrt{x+1}(2-x)^{3}}{(x-1)^{4}}$ ； （4）$y=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{1-\sin x}}}$ ．

15．求椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 在点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处的切线方程．

16．已知下列参数方程，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ． （1）$\left\{\begin{array}{l}x=t^{4}, \\ y=4 t ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t) ;\end{array}\right.$ （3）$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{1+t}, \\ y=\frac{t}{1+t} ;\end{array}\right.$ （4）$\left\{\begin{array}{l}x=a t+b, \\ y=\frac{1}{2} a t^{2} .\end{array}\right.$

17．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^{2}, \\ y=t^{3}\end{array}\right.$ 在 $t=2$ 处的切线方程．

18．求 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2} \cos t, \\ y=\sin t\end{array}\right.$ 在 $t=\frac{\pi}{4}$ 处的切线方程和法线方程．

19．设 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln t+\mathrm{e}^{2}, \\ y=\frac{1}{1-t},\end{array}\right.$ 求 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{t=\frac{1}{2}}$ ．

2．填空题： （1）设曲线 $y=\frac{1}{1+x^{2}}$ 在点 $M$ 处的切线平行于 $x$ 轴，则点 $M$ 的坐标为 $\_\_\_\_$ ； （2）过曲线 $y=\frac{4+x}{4-x}$ 上点 $(2,3)$ 处的切线的斜率为 $\_\_\_\_$ ； （3）设 $f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n}$ ，则 $[f(0)]^{\prime}=$ $\_\_\_\_$ ； （4）一物体按规律 $s(t)=3 t-t^{2}$ 做直线运动，速度 $v\left(\frac{3}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ； （5）设 $f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

3．求下列各复合函数的导数： （1）$y=\sin 2 x$ ； （2）$y=\mathrm{e}^{-2 x}$ ； （3）$y=(2 x+1)^{2}$ ； （4）$y=\ln (1+3 x)$ ； （5）$y=\sqrt{\ln x}$ ； （6）$y=3^{\sqrt{x}}$ ； （7）$y=\left(2 x^{2}-1\right)^{2}$ ； （8）$y=\sin (4 x+1)$ ； （9）$y=\ln \left(x^{3}+1\right)$ ； （10）$y=\sin ^{2} x$ ； （11）$y=\ln (\ln x)$ ； （12）$y=\sqrt{x^{2}-2 x+3}$ ； （13）$y=\ln \sqrt{x}+\sqrt{\ln x}$ ； （14）$y=\mathrm{e}^{\cos x+x}$ ； （15）$y=2^{\sin x}$ ； （16）$y=\left(x^{2}-4 x+5\right)^{3}$ ．

4．求下列各复合函数的导数： （1）$y=(4 x+1)^{5}$ ； （2）$y=5 e^{3 x}+x^{2}$ ； （3）$y=\sin 3^{x}$ ； （4）$y=5^{\sin 2 x}$ ； （5）$y=\tan ^{2} x$ ； （6）$y=\cot \sqrt{x}$ ； （7）$y=\arcsin \frac{1}{x}$ ； （8）$y=\operatorname{arccot} 2 x$ ； （9）$y=\cos x^{2}+2 \sin 2 x$ ； （10）$y=x \sqrt{1-x^{2}}$ ； （11）$y=x^{2} \sin \frac{1}{x}$ ； （12）$y=x \arctan \frac{x}{3}$ ； > (13) $y=\sqrt{1+\ln ^{2} x}$ > (15) $y=\mathrm{e}^{\frac{x}{\ln x}}$ > (17) $y=2 \tan ^{2} \frac{1}{\sqrt{x}}$

5．求下列函数的导数： （1）$y=\ln \left(2 x^{2}+1\right)$ ； （3）$y=\mathrm{e}^{\arctan \sqrt{x}}$ ； （5）$y=\sqrt{x+\sqrt{x}}$ ． （7）$y=\arccos \frac{1}{x}$ ； （9）$y=\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \sin 3 x$ ； （11）$y=\ln \tan \frac{x}{2}$ ； （13）$y=\ln \ln \ln x$ ； （15）$y=\mathrm{e}^{-\sin ^{2} \frac{1}{x}}$ ； （17）$y=\ln (\sec x+\tan x)$ ；

6．设 $f(u)$ 可导，求下列函数的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ： （1）$y=f\left(\mathrm{e}^{x^{2}}\right)$ ； （3）$y=\arctan f(x)$ ； （2）$y=f\left(\sin ^{2} x\right)+f\left(\cos ^{2} x\right)$ ； （4）$y=f\left(\mathrm{e}^{2 x}+2 \ln x\right)$ ．

7．求下列函数的二阶导数： （1）$y=x \ln x$ ； （3）$y=\mathrm{e}^{1-2 x}$ ； （5）$y=\left(1+x^{2}\right) \arctan x$ ； （7）$y=x[\sin (\ln x)+\cos (\ln x)]$ ； （9）$y=\cos ^{2} x \ln x$ ； （2）$y=\cos x+\tan x$ ； （4）$y=\ln \left(1-x^{3}\right)$ ； （6）$y=\frac{\tan x}{x}$ ； （8）$y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ； （10）$y=\ln \left(\sqrt{2+x^{2}}-x\right)$ ．

8．求下列函数的高阶导数： （1）$y=\mathrm{e}^{x} \cos x$ ，求 $y^{\prime \prime \prime}$ ； （3）$y=\frac{1-x}{1+x}$ ，求 $y^{\prime \prime}$ ； （2）$y=\sin 2 x$ ，求 $y^{(n)}$ ； （4）$y=2^{x}$ ，求 $y^{(n)}$ 。

9．设 $y=\ln \left(1+2 x-3 x^{2}\right)$ ，求 $y^{(4)}$ ． （14）$y=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$ ； （16）$y=\sin \sqrt{x^{2}+1}$ ； （18）$y=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right)$ ． （2）$y=\sin \left(3 x^{2}+1\right)^{3}$ ； （4）$y=\sin ^{n} x \cos n x$ ； （6）$y=\arcsin (1-2 x)$ ； （8）$y=\frac{1-\ln x}{1+\ln x}$ ； （10）$y=\left(\arcsin \frac{x}{2}\right)^{2}$ ； （12）$y=\mathrm{e}^{-x}\left(x^{2}-2 x\right)$ ； （14）$y=\arctan \frac{x+1}{x-1}$ ； （16）$y=\sin ^{2} x \cdot \sin \left(x^{2}\right)$ ； （18）$y=\ln (\csc x-\cot x)$ ．

＊20．一飞机在离地面 2 km 的高度，以每小时 200 km 的速度水平飞行到某目标上空，以便进行航空摄影，试求飞机至该目标正上方时摄影机转动的角速度。

＊21．河水以 $8 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}$ 的体流量流人水库中，水库形状是长为 4000 m 、顶角为 $120^{\circ}$ 的水槽，问：水深 20 m 时，水面每小时上升几米？

＊22．溶液从深 18 cm 、顶直径 12 cm 的正圆锥形容器中抽入一直径为 10 cm 的圆柱形筒中，开始时圆锥容器中盛满了溶液，已知当溶液在容器中深为 12 cm 时，其表面下降的速 率为 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{min}$ ，问：此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？ ${ }^{*} 23$ ．落在平静水面上的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是 $6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，问：在 2 s 末扰动水面面积的增大率为多少？