习题2-3

1．填空选择题： （1）$f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导是 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续的 $\_\_\_\_$ ，$f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续是 $f(x)$在点 $x_{0}$ 处可导的 $\_\_\_\_$ ，$f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导是 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可微的 $\_\_\_\_$ ； A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．无关条件 （2）设函数 $f(x)$ 可导，则当 $x$ 在 $x=2$ 处有微小增量 $\Delta x$ 时，函数的增量约为 $\_\_\_\_$ ； A．$f^{\prime}(2)$ B． $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} f(x)$ C．$f(2+\Delta x)$ D．$f^{\prime}(2) \Delta x$ （3）设 $f(x)$ 可微，则 $\mathrm{d}\left[\mathrm{e}^{f(x)}\right]=$ $\_\_\_\_$ ； （4）设函数 $f(x)$ 可导，$y=f\left(-x^{2}\right)$ ，则 $\mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ； （5）$\frac{\mathrm{d}(\ln x)}{\mathrm{d}(\sqrt{x})}=$ $\_\_\_\_$ ； （6）设 $f(x)$ 为可微的偶函数，且对任意的 $x_{0}\left(x_{0} \neq 0\right), f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}$ ，则 $f^{\prime}\left(-x_{0}\right)$ ＝ $\_\_\_\_$。

10．水管壁的正截面是一个圆环，设它的内径为 $R_{0}$ ，壁厚为 $d$ ，利用微分计算这个圆环面积的近似值（ $d$ 相当小）。

11．半径为 15 cm 的球，半径伸长 2 mm ，球的体积约增加多少？

12．设扇形的圆心角 $\alpha=60^{\circ}$ ，半径 $R=100 \mathrm{~cm}$ ．如果 $R$ 不变，$\alpha$ 减少 $30^{\prime}$ ，问：扇形面积大约改变多少？又如果 $\alpha$ 不变，$R$ 增加 1 cm ，问：扇形面积大约改变多少？

13．扩音器插头为圆柱形，截面半径 $r$ 为 0.15 cm ，长度 $l$ 为 4 cm ．为了提高它的导电性能，要在这个圆柱的侧面镀上一层厚为 0.001 cm 的纯铜，问：每个插头约需多少纯铜？

2．试在图 A、B、C、D 中分别标出函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的 $\mathrm{d} y 、 \Delta y$ 及 $\Delta y-\mathrm{d} y$ ，并说明其正负。 <img src="/static/img/textbook/28329a64f828.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> （A） <img src="/static/img/textbook/b3d3eddc1bd7.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> （B） <img src="/static/img/textbook/cc30e4534e97.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> （C） <img src="/static/img/textbook/a27fcbc9145f.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> （D）

3．已知 $y=x^{2}-x$ ，计算在 $x=2$ 处当 $\Delta x$ 分别等于 $0.1,0.01$ 时的 $\Delta y$ 及 $\mathrm{d} y$ 。

4．函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处有增量 $\Delta x=0.2$ ，对应的函数增量和线性主部都等于 0.8 ，求点 $x_{0}$ 处的导数。

5．求下列函数的微分： （1）$y=x \ln x-x^{2}$ ； （2）$y=\arcsin \sqrt{x}$ ； （3）$y=x \arctan \sqrt{x}$ ； （4）$y=\ln \left(\tan \frac{x}{2}\right)$ ； （5）$y=1+x \mathrm{e}^{y}$ ； （6）$y^{2} \cos x=\sin 3 x$ ； （7）$y=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ； （8）$y=\frac{x^{3}-1}{x^{3}+1}$ ； （9）$y=\tan ^{2}\left(1+2 x^{2}\right)$ ； （10）$y=3^{\ln (\tan x)}$ ； （11）$y=x^{5 x}$ ； （12） $\mathrm{e}^{\frac{x}{y}}-x y=0$ ； （13）$y^{2}+\ln y=x^{4}$ ； （14）$y=\cos (x y)-x$ ．

6．将适当的函数填人括号内，使等式成立： （1） $\mathrm{d}(\quad)=2 \mathrm{~d} x$ ； （2） $\mathrm{d}(\quad)=3 x \mathrm{~d} x$ ； （3） $\mathrm{d}(\quad)=\cos 2 x \mathrm{~d} x$ ； （4） $\mathrm{d}(\quad)=\sin \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$ ； （5）d（ ）$=\frac{1}{1-x} \mathrm{~d} x$ ； （6）d（ ）$=\frac{x}{1-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （7）d（ ）$=\frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x$ ； （9）d（ ）$=\sin x \cos x \mathrm{~d} x$ ； （10） $\mathrm{d}(\quad)=\frac{\sin x}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．

7．若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 可导，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}$ ，试问：$\Delta x \rightarrow 0$ ，则 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=x_{0}}$ 与 $\Delta x$ 是否是等价无穷小？或同阶无穷小？是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小还是低阶的无穷小？

8．当 $|x|$ 很小时，证明： （1）$\sqrt[n]{1+x} \approx 1+\frac{1}{n}$ ； （2） $\sin x \approx x$ ； （3） $\tan x \approx x$ ； （4） $\mathrm{e}^{x} \approx 1+x$ ； （5） $\ln (1+x) \approx x$ ； （6）$\sqrt{a^{2}+x} \approx a+\frac{x}{2 a}\left(a\gt 0,|x| \ll a^{2}\right)$ ．

9．利用微分求近似值： （1） $\mathrm{e}^{1.01}$ ； （2） $\cos 151^{\circ}$ ； （3）$\sqrt[3]{1.02}$ ； （4） $\lg 11$ ； （5） $\arcsin 0.5002$ ； （6） $\tan 45^{\prime}$ ．