习题2-4

1．罗尔定理对下列函数是否成立？ （1）$f(x)=\ln (\sin x),\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$ ； （2）$f(x)=\frac{3}{x^{2}+1},[-1,1]$ ； （3）$f(x)=x \sqrt{3-x},[0,3]$ ．

10．利用洛必达法则求极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 5 x}{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}+x^{2}-5 x}{x^{3}-4 x^{2}+5 x}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\sin x}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos ^{2} x}{x^{2}}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\ln (\sin x)}{(\pi-2 x)^{2}}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan x-1}{\sin 4 x}$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0 \tan 2 x} \frac{\tan 5 x}{\tan 2 x}$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-16}{x^{3}+5 x^{2}-6 x-16}$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-x}{x-\sin x}$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}+1}{6\left(\mathrm{e}^{x}-1\right) \cdot \mathrm{e}^{x}}$ ； （11） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-3 x+2}{x^{3}-x^{2}-x+1}$ ； （12） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\cos x}{\sin x}$ ； （13） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \frac{\frac{2}{x}}{\pi-2 \arctan x}$ ； （14） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln (\sin 3 x)}{\ln (\sin 2 x)}$ ； （15） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)}{x^{2}}$ ； （16） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}\right)$ ； （17） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)$ ； （19） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}} \sin x \ln x$ ； （21） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} x^{-2} \mathrm{e}^{x}$ ； （23） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\cot ^{2} x\right)$ ； （25） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x^{\sin x}$ ； （27） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}$ ； （18） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x \cot 2 x$ ； （20） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{2}{\pi} \arctan x\right)^{x}$ ； （22） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sec x-\tan x)$ ； （24） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}(\cot x)^{\sin x}$ ； （26） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1-x}}$ ； （28） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos \sqrt{x})^{\frac{\pi}{x}}$ ．

2．下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，求出定理中的 $\xi$ ． （1）$f(x)=2 x^{3},[-1,1]$ ； （2）$f(x)=\arctan x,[0,1]$ ； （3）$f(x)=x^{3}+2 x^{2}+x-2,[-1,0]$ ．

3．试对下列函数写出柯西公式 $\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}$ ，并求 $\xi$ ． （1）$f(x)=x^{2}, F(x)=\sqrt{x},[1,4]$ ； （2）$f(x)=\sin x, F(x)=\cos x,\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ．

4．已知函数 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ ，不求 $f(x)$ 的导数，讨论方程 $f^{\prime}(x)=0$ 的实根数量并指出它们所在的区间。

5．试用拉格朗日中值定理证明： （1）若 $0\lt b \leqslant a$ ，则 $\frac{a-b}{a} \leqslant \ln \frac{a}{b} \leqslant \frac{a-b}{b}$ ； （2）若 $a\gt b\gt 0, n\gt 1$ ，则 $n b^{n-1}(a-b)\lt a^{n}-b^{n}\lt n a^{n-1}(a-b)$ ； （3）$\frac{1}{n+1}\lt \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\lt \frac{1}{n}$ ； （4）当 $x\gt 1$ 时， $\mathrm{e}^{x}\gt \mathrm{e} x$ 。

6．若方程 $a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x=0$ 有一个正根 $x=x_{0}$ ，证明方程 $a_{0} n x^{n-1}+a_{1}(n-1) x^{n-2} +\cdots+a_{n-1}=0$ 必有一个小于 $x_{0}$ 的正根。

7．设函数 $f(x)$ 在 $[-2,2]$ 上连续，在 $(-2,2)$ 内可导，且 $f(-2)=f(2)=0, f(0)=2$ ，证明曲线段 $C: y=f(x)(-2 \leqslant x \leqslant 2)$ 上至少有一点处的切线平行于直线 $x-2 y+1=0$ ．

8．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ ，使 $2 \xi[f(a)-f(b)]=\left(a^{2}-b^{2}\right) f^{\prime}(\xi)$ ．

9．设 $f(x) 、 g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ ，使 $\left|\begin{array}{ll}f(a) & f(b) \\ g(a) & g(b)\end{array}\right|=(b-a)\left|\begin{array}{ll}f(a) & f^{\prime}(\xi) \\ g(a) & g^{\prime}(\xi)\end{array}\right|$.